Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Столбцы матрицы линейного отображения

j-й столбец матрицы линейного отображения равен образу j-го базисного вектора. Это позволяет читать действие отображения прямо по столбцам матрицы.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебраЛинейные отображенияМатрицыМатрица отображенияОбраз отображения

Формула

$$A e_j=a_j=T(e_j)$$
column-combination Ax как линейная комбинация столбцов

Визуал показывает столбцы a1, a2, a3 и коэффициенты x1, x2, x3, из которых складывается выходной вектор.

Каждая координата входного вектора выбирает, сколько взять соответствующего столбца.

Обозначения

$A$
матрица линейного отображения, матрица
$e_j$
j-й стандартный базисный вектор, вектор
$a_j$
j-й столбец матрицы A, столбец
$T(e_j)$
образ j-го базисного вектора, вектор

Условия применения

  • Матрица A записана для линейного отображения в согласованных базисах.
  • При стандартной записи Ax векторы области определения считаются координатными столбцами.
  • Если базис нестандартный, e_j нужно заменить на j-й базисный вектор b_j, а столбцом будет координатный столбец T(b_j) в выходном базисе.

Ограничения

  • Столбцы описывают образы базисных направлений, но не обязательно являются базисом образа: среди них могут быть зависимые столбцы.
  • Нельзя читать строки как образы базисных векторов при стандартном соглашении о столбцах.
  • Для нелинейной функции один набор столбцов не описывает действие на все векторы.

Подробное объяснение

Стандартный базис устроен так, что e_j имеет единицу на j-м месте и нули во всех остальных координатах. Когда матрица A умножается на e_j, в линейной комбинации столбцов остается только j-й столбец. Поэтому A e_j=a_j. Если A представляет линейное отображение T, то A e_j=T(e_j), а значит столбец a_j является образом j-го базисного направления.

Эта формула помогает понять произведение Ax как сборку результата из столбцов. Вектор x=(x1,...,xn)^T задает коэффициенты линейной комбинации столбцов: Ax=x1a1+...+xnan. Поэтому образ всех возможных x является линейной оболочкой столбцов A. Именно отсюда идет связь между образом отображения, столбцовым пространством и рангом матрицы.

В построении матрицы это самый быстрый прием. Если задача говорит, что линейное отображение переводит e1 в u, e2 в v, e3 в w, то матрица уже известна: ее столбцы u, v, w. Если наоборот дана матрица, можно сразу восстановить действие на базисные векторы и дальше распространить его на любые линейные комбинации.

В нестандартных базисах идея сохраняется, но меняется язык записи. Вместо стандартного e_j берется j-й базисный вектор b_j входного базиса, а вместо обычного столбца с координатами в R^m записываются координаты T(b_j) в выходном базисе. Поэтому эта страница связывает стандартную матрицу отображения с более общей формулой для произвольных базисов.

Как пользоваться формулой

  1. Уточните, в каких базисах записана матрица.
  2. Прочитайте j-й столбец как образ j-го базисного вектора.
  3. Для произвольного вектора используйте его координаты как коэффициенты линейной комбинации столбцов.
  4. Чтобы найти образ отображения, рассмотрите линейную оболочку столбцов.
  5. Чтобы убрать лишние направления, найдите базис столбцового пространства через ранг.

Историческая справка

Идея читать матрицу по столбцам тесно связана с развитием матричного умножения и линейных подстановок. В ранних задачах линейной алгебры таблица коэффициентов часто появлялась как запись системы уравнений. Позднее стало ясно, что та же таблица может описывать преобразование пространства: каждый столбец показывает образ одного базисного направления. Такое понимание особенно естественно после работ XIX века по матрицам, инвариантам и линейным заменам. Кэли и Сильвестр не формулировали эту школьно-университетскую страницу как отдельную формулу, но их матричный язык создал основу, в которой столбцы стали восприниматься как геометрические и алгебраические объекты, а не просто вертикальные наборы коэффициентов.

Историческая линия формулы

Формула A e_j=a_j является прямым следствием определения матричного умножения и стандартного базиса. Ее не стоит приписывать одному автору. Исторически полезнее связывать страницу с развитием матриц у Кэли и Сильвестра и с поздним языком линейных отображений между векторными пространствами.

Артур Кэли 1821-1895Джеймс Джозеф Сильвестр 1814-1897

Пример

Пусть A=[[2,-1,0],[1,3,4]]. Это матрица отображения T:R^3 -> R^2. Первый столбец a1=(2,1)^T означает T(e1)=(2,1). Второй столбец a2=(-1,3)^T означает T(e2)=(-1,3). Третий столбец a3=(0,4)^T означает T(e3)=(0,4). Если x=(5,2,-1)^T, то x=5e1+2e2-e3. По линейности T(x)=5T(e1)+2T(e2)-T(e3)=5(2,1)+2(-1,3)-(0,4)=(8,7). То же дает умножение Ax. Так столбцы не просто хранят числа, а показывают, куда переходят независимые координатные направления. Если столбцы зависимы, образ все равно описывается их оболочкой, но размерность образа будет меньше трех.

Частая ошибка

Распространенная ошибка - читать строки матрицы как T(e1), T(e2), хотя при умножении Ax образами стандартных базисных векторов являются столбцы. Вторая ошибка - считать все столбцы базисом образа. Если один столбец выражается через другие, он не добавляет нового направления, и ранг меньше числа столбцов. Еще одна ошибка - забывать, что для отображения R^n -> R^m каждый столбец живет в R^m, поэтому его высота равна числу строк матрицы.

Практика

Задачи с решением

Прочитать образы базисных векторов

Условие. Для A=[[1,0,2],[3,-1,4]] найдите T(e1), T(e2), T(e3).

Решение. Образы равны столбцам матрицы: первый столбец (1,3), второй (0,-1), третий (2,4).

Ответ. T(e1)=(1,3), T(e2)=(0,-1), T(e3)=(2,4).

Собрать образ вектора из столбцов

Условие. Для той же A найдите T(2,-1,3).

Решение. Берем 2a1-a2+3a3=2(1,3)-(0,-1)+3(2,4)=(8,19).

Ответ. T(2,-1,3)=(8,19).

Дополнительные источники

  • MIT OpenCourseWare 18.06SC, column space and transformations
  • Jim Hefferon, Linear Algebra, matrix representation of maps
  • Kenneth Hoffman and Ray Kunze, Linear Algebra, linear transformations

Связанные формулы

Математика

Образ линейного отображения

$\operatorname{Im}T=\{T(v)\mid v\in V\}$

Образ линейного отображения - это множество всех векторов, которые реально могут получиться на выходе. Для матрицы это столбцовое пространство, натянутое на ее столбцы.

Математика

Ранг линейного отображения

$\operatorname{rank}T=\dim\operatorname{Im}T$

Ранг линейного отображения равен размерности его образа. Он показывает, сколько независимых направлений результата реально достижимо.

Математика

Матричное произведение

$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}$

Матричное произведение строит элемент новой матрицы как скалярное произведение строки первой матрицы и столбца второй. Порядок множителей важен.