Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Матрица линейного отображения в стандартных базисах

Если T:R^n -> R^m линейно, то оно задается матрицей A размера m x n. Столбцы A равны образам стандартных базисных векторов области определения.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебраЛинейные отображенияМатрицыМатрица отображения

Формула

$$T(x)=Ax,\quad A=\big[T(e_1)\ \cdots\ T(e_n)\big]$$
matrix-columns-map Столбцы матрицы как образы базисных векторов

Схема показывает стандартные e1, e2, e3 слева, их образы справа и матрицу, собранную из этих образов.

Чтобы построить A, достаточно узнать, куда T отправляет базисные направления.

Обозначения

$T$
линейное отображение из R^n в R^m, отображение
$A$
матрица отображения в стандартных базисах, матрица m x n
$e_j$
j-й стандартный базисный вектор в R^n, вектор
$T(e_j)$
j-й столбец матрицы A, вектор из R^m

Условия применения

  • Отображение T должно быть линейным.
  • Входные и выходные координаты рассматриваются в стандартных базисах R^n и R^m.
  • Число столбцов матрицы равно размерности входного пространства, а число строк - размерности выходного.

Ограничения

  • Если используются нестандартные базисы, столбцы нужно брать как координаты T(b_j) в выходном базисе, а не как стандартные координаты без уточнения.
  • Нелинейное правило нельзя корректно заменить одной постоянной матрицей A.
  • Матрица зависит от выбора базисов, хотя само отображение как правило между пространствами может оставаться тем же.

Подробное объяснение

Матрица линейного отображения существует потому, что линейное отображение полностью определяется образами базиса. Любой вектор x из R^n раскладывается по стандартному базису как x=x1e1+...+xnen. Линейность дает T(x)=x1T(e1)+...+xnT(en). Если поставить векторы T(e1), ..., T(en) столбцами, то эта линейная комбинация становится обычным произведением матрицы на координатный столбец.

Размер матрицы легко понять по направлению отображения. Входной вектор имеет n координат, поэтому матрица должна принимать столбец высоты n. Выходной вектор имеет m координат, поэтому результат Ax имеет m строк. Следовательно, A имеет размер m x n. Эта простая проверка помогает быстро находить ошибки в умножении матриц и композиции отображений.

После построения A все основные свойства T можно изучать матрично. Ядро T - это множество решений Ax=0. Образ T - столбцовое пространство матрицы A. Ранг T равен рангу A. Инъективность означает отсутствие ненулевых решений Ax=0, а сюръективность на R^m означает, что столбцы A порождают все R^m. Так одна матрица становится вычислительным паспортом отображения.

Важно помнить, что матрица не уничтожает геометрический смысл отображения. Поворот, проекция, растяжение, сжатие, сдвиг направления в ноль и вложение в пространство большей размерности могут быть записаны матрицами. Но эта запись всегда привязана к базисам: стандартные базисы просто настолько привычны, что их часто не проговаривают.

Как пользоваться формулой

  1. Убедитесь, что отображение линейно.
  2. Определите размерности R^n и R^m, чтобы знать размер матрицы.
  3. Найдите образы стандартных базисных векторов e1, ..., en.
  4. Поставьте эти образы столбцами матрицы A.
  5. Проверьте матрицу на произвольном векторе или на исходной координатной формуле.

Историческая справка

Матричная запись линейных отображений выросла из задач линейных подстановок и систем уравнений. Сначала таблицы коэффициентов были удобным способом записывать много однотипных чисел. В XIX веке, особенно в работах Кэли и Сильвестра, матрицы стали рассматриваться как самостоятельные алгебраические объекты, которые можно складывать, умножать и обращать. Это позволило воспринимать линейное преобразование не только как список формул для координат, но и как один объект A. Позднее, с развитием абстрактных векторных пространств, стало ясно, что матрица зависит от базисов, а само линейное отображение можно изучать независимо от конкретной координатной записи.

Историческая линия формулы

Современная формула A=[T(e1) ... T(en)] не имеет одного автора. Ее корректно связывать с несколькими линиями: координатная геометрия дала числовой язык, матричная алгебра Кэли и Сильвестра дала операции с таблицами коэффициентов, а аксиоматическая линейная алгебра объяснила зависимость матрицы от выбора базисов.

Артур Кэли 1821-1895Джеймс Джозеф Сильвестр 1814-1897

Пример

Пусть T:R^3 -> R^2 задано формулой T(x,y,z)=(x+2y-z, 3x+z). Найдем матрицу T в стандартных базисах. Стандартные базисные векторы R^3: e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1). Считаем их образы: T(e1)=(1,3), T(e2)=(2,0), T(e3)=(-1,1). Поэтому A=[[1,2,-1],[3,0,1]]. Проверим на векторе x=(4,-1,2): Ax=(1*4+2*(-1)-1*2, 3*4+0*(-1)+1*2)=(0,14). По исходной формуле T(4,-1,2)=(4+2*(-1)-2, 12+2)=(0,14). Совпадение показывает, что матрица действительно представляет отображение. После этого можно искать ядро через Ax=0 и образ через столбцы A.

Частая ошибка

Частая ошибка - записывать образы стандартных базисных векторов строками, хотя при обычной записи Ax столбцы матрицы равны T(e_j). Вторая ошибка - путать размер матрицы: для отображения R^n -> R^m матрица имеет m строк и n столбцов, а не наоборот. Еще одна ошибка - забывать про базисы и называть A самой функцией T. В стандартных координатах это удобно, но при смене базиса та же T получает другую матрицу.

Практика

Задачи с решением

Построить матрицу отображения

Условие. Найдите матрицу T:R^2 -> R^3, если T(x,y)=(x-y,2x,y).

Решение. T(e1)=T(1,0)=(1,2,0), T(e2)=T(0,1)=(-1,0,1). Эти векторы ставим столбцами.

Ответ. A=[[1,-1],[2,0],[0,1]].

Проверить размер матрицы

Условие. Какого размера матрица линейного отображения из R^5 в R^2?

Решение. Входной столбец имеет 5 координат, выходной - 2 координаты. Значит матрица должна иметь 2 строки и 5 столбцов.

Ответ. 2 x 5.

Дополнительные источники

  • MIT OpenCourseWare 18.06SC, matrix of a linear transformation
  • Jim Hefferon, Linear Algebra, representing maps with matrices
  • Arthur Cayley, A Memoir on the Theory of Matrices

Связанные формулы

Математика

Критерий линейности отображения

$T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)$

Критерий линейности проверяет, сохраняет ли отображение сложение векторов и умножение на скаляр. Если равенство выполняется для любых u, v и скаляров alpha, beta, отображение линейно.

Математика

Столбцы матрицы линейного отображения

$A e_j=a_j=T(e_j)$

j-й столбец матрицы линейного отображения равен образу j-го базисного вектора. Это позволяет читать действие отображения прямо по столбцам матрицы.

Математика

Ядро линейного отображения

$\ker T=\{v\in V\mid T(v)=0\}$

Ядро линейного отображения - это множество всех векторов, которые переходят в нулевой вектор. По ядру сразу видно, теряет ли отображение информацию и может ли оно быть инъективным.

Математика

Образ линейного отображения

$\operatorname{Im}T=\{T(v)\mid v\in V\}$

Образ линейного отображения - это множество всех векторов, которые реально могут получиться на выходе. Для матрицы это столбцовое пространство, натянутое на ее столбцы.