Линейная алгебра
Матрица отображения
Запись линейного отображения матрицей в стандартных или произвольных базисах.
8 формул
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Критерий линейности отображения | $T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)$ | Матрицы, определители | Критерий линейности проверяет, сохраняет ли отображение сложение векторов и умножение на скаляр. Если равенство выполняется для любых u, v и скаляров alpha, beta, отображение линейно. |
| Матрица линейного отображения в стандартных базисах | $T(x)=Ax,\quad A=\big[T(e_1)\ \cdots\ T(e_n)\big]$ | Матрицы, определители | Если T:R^n -> R^m линейно, то оно задается матрицей A размера m x n. Столбцы A равны образам стандартных базисных векторов области определения. |
| Столбцы матрицы линейного отображения | $A e_j=a_j=T(e_j)$ | Матрицы, определители | j-й столбец матрицы линейного отображения равен образу j-го базисного вектора. Это позволяет читать действие отображения прямо по столбцам матрицы. |
| Матрица линейного отображения в произвольных базисах | $[T(v)]_C=A_{C\leftarrow B}[v]_B,\quad A_{C\leftarrow B}=\big[[T(b_1)]_C\ \cdots\ [T(b_n)]_C\big]$ | Матрицы, определители | Матрица отображения в базисах B и C переводит координаты входного вектора в базисе B в координаты его образа в базисе C. Ее столбцы - координаты образов базисных векторов. |
| Композиция линейных отображений и произведение матриц | $[S\circ T]=[S][T]$ | Матрицы, определители | Матрица композиции линейных отображений равна произведению их матриц в том же порядке применения справа налево: сначала T, затем S. |
| Тождественное линейное отображение и единичная матрица | $\operatorname{Id}_V(v)=v,\quad [\operatorname{Id}_V]_{B\leftarrow B}=I_n$ | Матрицы, определители | Тождественное отображение оставляет каждый вектор без изменения. В одном и том же базисе его матрица равна единичной матрице I_n. |
| Линейный оператор как квадратная матрица | $T:V\to V,\quad [T]_B=A\in M_n(F),\quad [T(v)]_B=A[v]_B$ | Матрицы, определители | Линейный оператор - это линейное отображение пространства в себя. В выбранном базисе конечномерного пространства он записывается квадратной матрицей. |
| Собственное значение и собственный вектор | $Av=\lambda v,\quad v\ne0$ | Матрицы, определители | Собственный вектор матрицы A - это ненулевой вектор, который после умножения на A остается на той же прямой. Собственное значение lambda показывает, во сколько раз этот вектор растягивается, сжимается или меняет направление. |