Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Матрица линейного отображения в произвольных базисах

Матрица отображения в базисах B и C переводит координаты входного вектора в базисе B в координаты его образа в базисе C. Ее столбцы - координаты образов базисных векторов.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебраЛинейные отображенияБазисКоординаты в базисеМатрица отображенияСмена базиса

Формула

$$[T(v)]_C=A_{C\leftarrow B}[v]_B,\quad A_{C\leftarrow B}=\big[[T(b_1)]_C\ \cdots\ [T(b_n)]_C\big]$$
basis-to-basis-map Матрица как перевод между координатными языками

Схема показывает входной базис B, выходной базис C и стрелку, которая переводит [v]_B в [T(v)]_C.

Столбцы матрицы - это не просто T(b_j), а координаты T(b_j) в выходном базисе.

Обозначения

$B=(b_1,...,b_n)$
базис области определения, набор векторов
$C=(c_1,...,c_m)$
базис области значений, набор векторов
$A_{C\leftarrow B}$
матрица T из B-координат во C-координаты, матрица m x n
$[v]_B$
координатный столбец входного вектора в базисе B, столбец

Условия применения

  • T должно быть линейным отображением V -> W.
  • B должен быть базисом V, а C - базисом W.
  • Каждый образ T(b_j) нужно разложить именно по выходному базису C.

Ограничения

  • Нельзя смешивать стандартные координаты и координаты в C без явного перехода.
  • Если B или C не являются базисами, координаты могут быть неединственными или не существовать.
  • Матрица A_{C<-B} описывает то же отображение только вместе с указанием базисов; без них она может быть неправильно истолкована.

Подробное объяснение

Произвольные базисы позволяют отделить отображение от конкретной системы координат. Вектор v сначала записывается как координатный столбец [v]_B. Линейность говорит, что если v=x1b1+...+xnbn, то T(v)=x1T(b1)+...+xnT(bn). Чтобы получить координаты результата, каждый T(b_j) нужно записать в базисе C. Эти координатные столбцы и становятся столбцами матрицы A_{C<-B}.

Формула [T(v)]_C=A_{C<-B}[v]_B выглядит так же, как стандартное Ax, но смысл у нее богаче. Слева и справа стоят не сами геометрические векторы, а их координатные записи в разных базисах. Поэтому индексы C<-B важны: они показывают, с какого координатного языка на какой переводит матрица отображения.

Эта запись становится особенно полезной, когда удачный базис упрощает оператор. Если выбрать базис из собственных векторов, матрица оператора может стать диагональной. Если выбрать базис подпространства, можно отдельно видеть действие на ядре, образе или инвариантной части. Поэтому произвольные базисы - не усложнение ради строгости, а инструмент для упрощения задач.

Практически все сводится к двум операциям: применить T к базисным векторам входа и разложить результаты в базисе выхода. Если выходной базис не стандартный, вторую операцию обычно делают через решение системы или матрицу базиса P_C.

Как пользоваться формулой

  1. Зафиксируйте входной базис B и выходной базис C.
  2. Для каждого b_j найдите образ T(b_j).
  3. Разложите T(b_j) по базису C и получите столбец [T(b_j)]_C.
  4. Соберите эти столбцы в матрицу A_{C<-B}.
  5. Умножайте A_{C<-B} на [v]_B, чтобы получить [T(v)]_C.

Историческая справка

Формула матрицы отображения в произвольных базисах появилась как естественный результат двух линий. Первая линия - координатная: один и тот же объект можно записывать разными наборами чисел. Вторая - матричная: линейное правило можно кодировать таблицей коэффициентов. Когда векторные пространства стали формулироваться абстрактно, стало ясно, что матрица является не самим отображением, а его координатной записью относительно пары базисов. Эта точка зрения особенно важна в современной линейной алгебре: она объясняет, почему смена базиса приводит к похожим матрицам операторов и почему разумный выбор базиса может радикально упростить вычисления. Поэтому тема стала обязательным мостом к диагонализации и собственным базисам.

Историческая линия формулы

Эту формулу не следует привязывать к одному автору. В ней встречаются координатная традиция Декарта, матричная алгебра Кэли и Сильвестра, а также абстрактный язык пространств, связанный с Грассманом и Пеано. Полезная историческая справка должна показывать именно соединение этих линий.

Артур Кэли 1821-1895Джеймс Джозеф Сильвестр 1814-1897

Пример

Пусть T:R^2 -> R^2 задано T(x,y)=(x+y,x-y). Возьмем входной базис B=(b1,b2), где b1=(1,1), b2=(1,-1), а выходной базис C - стандартный. Считаем образы: T(b1)=T(1,1)=(2,0), T(b2)=T(1,-1)=(0,2). Так как C стандартный, координаты этих образов равны самим столбцам. Получаем A_{C<-B}=[[2,0],[0,2]]. Если v=3b1-b2, то [v]_B=(3,-1)^T, а [T(v)]_C=A[v]_B=(6,-2)^T. Проверка в стандартных координатах: v=3(1,1)-(1,-1)=(2,4), T(v)=(6,-2). Формула работает потому, что матрица была построена не по стандартным e1,e2 входа, а по выбранным b1,b2.

Частая ошибка

Главная ошибка - взять образы b_j, но оставить их в стандартных координатах, когда выходной базис C не стандартный. Тогда столбцы матрицы будут записаны не на том языке. Вторая ошибка - перепутать направление: A_{C<-B} принимает [v]_B и выдает [T(v)]_C, а не наоборот. Еще одна ошибка - считать, что матрица отображения является абсолютной. При замене B или C числовая матрица меняется, хотя само отображение T остается тем же.

Практика

Задачи с решением

Матрица в нестандартном входном базисе

Условие. T(x,y)=(2x,y), B=((1,1),(1,-1)), C - стандартный базис. Найдите A_{C<-B}.

Решение. T(1,1)=(2,1), T(1,-1)=(2,-1). В стандартном C эти координаты идут столбцами.

Ответ. A_{C<-B}=[[2,2],[1,-1]].

Применить матрицу в базисах

Условие. Для A_{C<-B}=[[2,0],[0,2]] найдите [T(v)]_C, если [v]_B=(4,-3)^T.

Решение. Умножаем: [[2,0],[0,2]](4,-3)^T=(8,-6)^T.

Ответ. [T(v)]_C=(8,-6)^T.

Дополнительные источники

  • MIT OpenCourseWare 18.06SC, matrices of linear transformations
  • Jim Hefferon, Linear Algebra, representations with respect to bases
  • Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, matrices of linear maps

Связанные формулы

Математика

Координаты вектора в базисе

$v=x_1e_1+\cdots+x_ne_n,\quad [v]_B=(x_1,\ldots,x_n)^T$

Координаты вектора в базисе - это коэффициенты единственного разложения вектора по базисным векторам. Сам вектор не меняется, меняется только числовая запись относительно выбранного базиса.

Математика

Матрица базиса и стандартные координаты

$v=P_B[v]_B,\quad P_B=[e_1\ \cdots\ e_n]$

Матрица базиса переводит координатный столбец в выбранном базисе в стандартные координаты. Ее столбцы - это сами базисные векторы, записанные в стандартной системе.

Математика

Переход координат между базисами

$[v]_C=P_C^{-1}P_B[v]_B$

Переход координат между базисами переводит координатный столбец одного и того же вектора из базиса B в базис C. Сам вектор не меняется, меняется только его числовое описание.

Математика

Матрица оператора при смене базиса

$[T]_C=S^{-1}[T]_B S,\quad [v]_B=S[v]_C$

При смене базиса матрица одного и того же линейного оператора меняется по формуле подобия. Это позволяет описывать один оператор разными матрицами без изменения самого действия на пространстве.