Аналитическая геометрия
Преобразование координат
Формулы для поворота и переноса осей, устранения смешанного члена и центрирования кривых.
24 формулы
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Общее уравнение кривой второго порядка | $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ | Прямые, плоскости | Общее уравнение кривой второго порядка: формула Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется записать уравнение геометрического объекта по заданным параметрам. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Классификация коники по дискриминанту | $\delta=B^2-4AC:\quad \delta<0\ \text{эллиптический тип},\ \delta=0\ \text{параболический тип},\ \delta>0\ \text{гиперболический тип}$ | Прямые, плоскости | Классификация коники по дискриминанту: формула \delta=B^2-4AC:\quad \delta<0\ \text{эллиптический тип},\ \delta=0\ \text{параболический тип},\ \delta>0\ \text{гиперболический тип} помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется кривая не вырождена. В тексте есть условия, пример, ошибки и прове... |
| Центр коники из линейной системы | $\begin{cases}2Ah + Bk + D = 0\\Bh + 2Ck + E = 0\end{cases}$ | Прямые, плоскости | Центр коники из линейной системы: формула \begin{cases}2Ah + Bk + D = 0\\Bh + 2Ck + E = 0\end{cases} помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется перейти от геометрического условия к координатной записи. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Угол поворота осей для устранения члена xy | $\tan 2\theta = \frac{B}{A-C}$ | Прямые, плоскости | Угол поворота осей для устранения члена xy: формула \tan 2\theta = \frac{B}{A-C} помогает найти угол через векторы, нормали или направляющие. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Перенос начала координат в центр коники | $x=X+h,\ y=Y+k;\quad AX^2+BXY+CY^2+J=0$ | Прямые, плоскости | Перенос начала координат в центр коники: формула x=X+h,\ y=Y+k;\quad AX^2+BXY+CY^2+J=0 помогает перейти от геометрического условия к координатной записи. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Полуоси эллипса после диагонализации | $\lambda_1U^2+\lambda_2V^2+J=0,\quad \lambda_1,\lambda_2>0,\ J<0,\quad a_i^2=\frac{-J}{\lambda_i}$ | Прямые, плоскости | Полуоси эллипса после диагонализации: формула \lambda_1U^2+\lambda_2V^2+J=0,\quad \lambda_1,\lambda_2>0,\ J<0,\quad a_i^2=\frac{-J}{\lambda_i} помогает перейти от геометрического условия к координатной записи. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Полуоси гиперболы после диагонализации | $\lambda_+U^2+\lambda_-V^2+J=0,\quad \lambda_+>0,\lambda_-<0,\quad a^2=\frac{|J|}{|\lambda_+|},\ b^2=\frac{|J|}{|\lambda_-|}$ | Прямые, плоскости | Полуоси гиперболы после диагонализации: формула \lambda_+U^2+\lambda_-V^2+J=0,\quad \lambda_+>0,\lambda_-<0,\quad a^2=\frac{|J|}{|\lambda_+|},\ b^2=\frac{|J|}{|\lambda_-|} помогает перейти от геометрического условия к координатной записи. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Вершина и ось параболы через выделение квадрата | $(Y-k)^2=2p(X-h)\quad \text{или}\quad (X-h)^2=2p(Y-k)$ | Прямые, плоскости | Вершина и ось параболы через выделение квадрата: формула (Y-k)^2=2p(X-h)\quad \text{или}\quad (X-h)^2=2p(Y-k) помогает перейти от геометрического условия к координатной записи. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Критерий вырожденной коники через определитель | $\Delta = \left|\begin{matrix} A & \frac{B}{2} & \frac{D}{2} \\ \frac{B}{2} & C & \frac{E}{2} \\ \frac{D}{2} & \frac{E}{2} & F \end{matrix}\right| = 0$ | Прямые, плоскости | Критерий вырожденной коники через определитель: формула \Delta = \left|\begin{matrix} A & \frac{B}{2} & \frac{D}{2} \\ \frac{B}{2} & C & \frac{E}{2} \\ \frac{D}{2} & \frac{E}{2} & F \end{matrix}\right| = 0 помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется детерминант квадратичной формы с линейны... |
| Инвариант следа квадратичной части коники | $A'+C'=A+C=\operatorname{tr}\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}$ | Прямые, плоскости | Инвариант следа квадратичной части коники: формула A'+C'=A+C=\operatorname{tr}\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix} помогает перейти от геометрического условия к координатной записи. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Переход от полярных к декартовым координатам | $x=r\cos\varphi,\quad y=r\sin\varphi,\quad r=\sqrt{x^2+y^2},\quad \varphi=\operatorname{atan2}(y,x)$ | Прямые, плоскости | Переход между полярными и декартовыми координатами связывает радиус-вектор и угол точки с ее проекциями на координатные оси. |
| Расстояние между точками в полярных координатах | $d=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\varphi_1-\varphi_2)}$ | Прямые, плоскости | Расстояние между двумя полярными точками находится по теореме косинусов для треугольника с сторонами r1, r2 и углом между радиусами. |
| Уравнение прямой в полярных координатах | $r\cos(\varphi-\alpha)=p$ | Прямые, плоскости | Полярное уравнение прямой задает прямую через расстояние p от полюса до прямой и угол α направления ее нормали, что удобно для задач с лучами и секторами. |
| Перенос начала координат в пространстве | $x'=x-a,\quad y'=y-b,\quad z'=z-c$ | Прямые, плоскости | Перенос начала координат в пространстве заменяет старые координаты точки на новые относительно начала O'(a,b,c), не меняя саму геометрию. |
| Поворот координат на плоскости | $x'=x\cos\alpha+y\sin\alpha,\quad y'=-x\sin\alpha+y\cos\alpha$ | Прямые, плоскости | Поворот координат на плоскости описывает координаты той же точки в системе осей, повернутой на угол α относительно старой системы. |
| Матрица поворота вокруг оси z | $\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ | Прямые, плоскости | Матрица поворота вокруг оси z активно поворачивает точку в плоскости xy на угол θ, оставляя координату z неизменной и сохраняя длины. |
| Масштабирование координат | $x'=k_xx,\quad y'=k_yy,\quad z'=k_zz$ | Прямые, плоскости | Масштабирование координат умножает каждую координату на свой коэффициент и растягивает или сжимает объект вдоль выбранных осей. |
| Аффинное преобразование точки | $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}+\mathbf{b}$ | Прямые, плоскости | Аффинное преобразование точки состоит из линейного преобразования A и последующего сдвига b, сохраняя прямые и отношения точек на одной прямой. |
| Обратное аффинное преобразование | $\mathbf{x}=A^{-1}(\mathbf{x}'-\mathbf{b}),\quad \det A\ne0$ | Прямые, плоскости | Обратное аффинное преобразование восстанавливает исходную точку из образа, если матрица линейной части A невырождена и обратима. |
| Барицентрические координаты точки на отрезке | $P=(1-t)A+tB,\quad 0\le t\le1$ | Прямые, плоскости | Барицентрические координаты точки на отрезке выражают точку как взвешенную сумму концов A и B с коэффициентами, сумма которых равна единице. |
| Барицентрические координаты в треугольнике через площади | $\lambda_A=\frac{S_{PBC}}{S_{ABC}},\quad \lambda_B=\frac{S_{APC}}{S_{ABC}},\quad \lambda_C=\frac{S_{ABP}}{S_{ABC}}$ | Прямые, плоскости | Барицентрические координаты точки в треугольнике равны отношениям площадей трех малых треугольников к площади исходного треугольника. |
| Центр масс системы точек | $\mathbf{r}_c=\frac{\sum_{i=1}^{n}m_i\mathbf{r}_i}{\sum_{i=1}^{n}m_i}$ | Прямые, плоскости | Центр масс системы точек является взвешенным средним их радиус-векторов, где весами служат массы или другие положительные коэффициенты. |
| Инвариант расстояния при ортогональном преобразовании | $\|Q\mathbf{p}-Q\mathbf{q}\|=\|\mathbf{p}-\mathbf{q}\|,\quad Q^TQ=I$ | Прямые, плоскости | Ортогональное преобразование сохраняет расстояние между любыми двумя точками, потому что его матрица сохраняет скалярное произведение. |
| Дивергенция в цилиндрических координатах | $\nabla\cdot\mathbf F=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rF_r)+\frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$ | Пределы, ряды | Формула дивергенции в цилиндрических координатах учитывает изменение радиального, углового и осевого компонентов поля, включая геометрический множитель r у радиальной части. |