Все формулы РФ

Математика / Прямые, плоскости

Барицентрические координаты в треугольнике через площади

Барицентрические координаты точки в треугольнике равны отношениям площадей трех малых треугольников к площади исходного треугольника.

Опубликовано: Обновлено:

Аналитическая геометрияМетод координатПреобразование координатБарицентрические координатыГеометрия на плоскости

Формула

$$\lambda_A=\frac{S_{PBC}}{S_{ABC}},\quad \lambda_B=\frac{S_{APC}}{S_{ABC}},\quad \lambda_C=\frac{S_{ABP}}{S_{ABC}}$$
triangle-barycentric-areas Визуальное пояснение

Точка P разбивает треугольник ABC на три малых треугольника, площади которых задают веса вершин.

Барицентрические координаты через площади.

Обозначения

$\lambda_A,\lambda_B,\lambda_C$
барицентрические веса при вершинах A, B и C, безразмерно
$S_{ABC}$
площадь исходного треугольника, квадратные единицы
$P$
точка, для которой ищутся веса, единицы длины

Условия применения

  • Треугольник ABC невырожден, его площадь не равна нулю.
  • Площади берутся ориентированными или неориентированными в согласованной схеме.
  • Для точки внутри треугольника все веса неотрицательны и их сумма равна 1.

Ограничения

  • Если A, B и C лежат на одной прямой, формула не работает.
  • Для точки вне треугольника один или несколько ориентированных весов будут отрицательными.
  • При использовании обычных площадей без знака можно потерять информацию о стороне, где находится точка.

Подробное объяснение

Барицентрические координаты описывают точку как P=λA A+λB B+λC C при условии λA+λB+λC=1. Площадная формула работает потому, что при фиксированной стороне площадь пропорциональна высоте, а высоты точки относительно сторон задают ее положение внутри треугольника. Координатные и аффинные преобразования нужны для того, чтобы описывать один и тот же геометрический объект в удобной системе отсчета. Перенос меняет начало координат, поворот меняет направление осей, масштабирование меняет единицы вдоль осей, а аффинное преобразование объединяет линейную часть и сдвиг. В аналитической геометрии это не декоративный прием: правильно выбранное преобразование упрощает уравнение прямой, плоскости, коники или поверхности второго порядка и позволяет увидеть, какие свойства сохраняются. Поэтому каждую формулу нужно сопровождать проверкой: что именно сохраняется, что меняется и можно ли вернуться обратно. Для этой страницы главная проверка такая: сумма трех барицентрических координат должна быть равна 1. Если проверка не проходит, значит перепутан знак, порядок матричного умножения или смысл преобразования.

Как пользоваться формулой

  1. Вычислите площадь исходного треугольника ABC.
  2. Вычислите площади треугольников PBC, APC и ABP.
  3. Разделите каждую малую площадь на SABC.
  4. Проверьте сумму весов и их знаки.

Историческая справка

Барицентрическая идея выросла из задач о центрах тяжести и стала мощным языком треугольной геометрии и аффинных координат. Исторически эти формулы продолжают линию координатного метода, связанную с Рене Декартом и Пьером Ферма: геометрические задачи переводятся на язык чисел и уравнений. Позже, с развитием линейной алгебры, стало ясно, что переносы, повороты, масштабирования и более общие аффинные преобразования удобно записывать через матрицы и векторы. Барицентрические координаты связаны с классической геометрией масс и центров тяжести, а инварианты расстояний и углов стали важной частью строгого описания евклидовой геометрии. Современная учебная форма этих записей является итогом общей традиции, а не результатом одного изолированного открытия.

Историческая линия формулы

У формулы нет единственного автора в современном учебном смысле. Корректнее связывать ее с развитием координатного метода у Декарта и Ферма, а матричную запись - с более поздней традицией линейной алгебры и аналитической геометрии.

Пример

Если точка P является центром тяжести треугольника, три малых треугольника имеют равные площади, поэтому λA=λB=λC=1/3. Тогда P=(A+B+C)/3. Если одна из площадей равна нулю, точка лежит на стороне, противоположной соответствующей вершине. После вычисления полезно выполнить обратный ход или проверить инвариант. Например, после переноса можно вернуться к старым координатам, после поворота проверить длину вектора, а после барицентрического разложения убедиться, что сумма коэффициентов равна единице. Такая проверка особенно важна, потому что ошибки знака в преобразованиях часто дают внешне правдоподобный ответ.

Частая ошибка

Часто путают, какой малый треугольник соответствует какой вершине. Вес при A считается по площади треугольника PBC, потому что это часть напротив вершины A. Также нельзя забывать делить на площадь всего треугольника. Еще одна частая ошибка - смешивать преобразование точки и преобразование системы координат. При активном преобразовании точка реально перемещается, а при смене координат меняется способ описания той же точки. Формулы похожи, но знаки угла или сдвига могут отличаться. Перед решением нужно явно зафиксировать, какой смысл используется в задаче.

Практика

Задачи с решением

Центр тяжести

Условие. Какие барицентрические координаты у центра тяжести треугольника?

Решение. Центр тяжести делит треугольник на три равновеликие части относительно вершин, поэтому веса равны.

Ответ. (1/3,1/3,1/3)

Точка на стороне

Условие. Если S_ABP=0, где находится точка P?

Решение. Площадь ABP равна нулю, значит A, B и P коллинеарны. Точка лежит на прямой AB.

Ответ. На прямой AB

Дополнительные источники

  • MIT OpenCourseWare. Linear Algebra and Multivariable Calculus, coordinate transformations.
  • OpenStax. Calculus Volume 3, Vectors and the Geometry of Space.

Связанные формулы

Математика

Центр масс системы точек

$\mathbf{r}_c=\frac{\sum_{i=1}^{n}m_i\mathbf{r}_i}{\sum_{i=1}^{n}m_i}$

Центр масс системы точек является взвешенным средним их радиус-векторов, где весами служат массы или другие положительные коэффициенты.

Математика

Аффинное преобразование точки

$\mathbf{x}'=A\mathbf{x}+\mathbf{b}$

Аффинное преобразование точки состоит из линейного преобразования A и последующего сдвига b, сохраняя прямые и отношения точек на одной прямой.

Математика

Деление отрезка в заданном отношении

$P\left(\frac{n x_1+m x_2}{m+n},\frac{n y_1+m y_2}{m+n}\right),\quad AP:PB=m:n$

Формула дает координаты точки, которая делит отрезок между A и B в отношении m:n, с большим весом у противоположного конца. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.