Линейная алгебра
Метод Гаусса
Исключение переменных, прямой ход, обратная подстановка и решение систем через элементарные преобразования строк.
5 формул
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Расширенная матрица системы | $\left[A\mid b\right]$ | Матрицы, определители | Расширенная матрица [A|b] объединяет коэффициенты системы и правые части в одну таблицу. Она нужна для метода Гаусса, потому что при преобразовании строк меняются и коэффициенты, и правые части. |
| Элементарные преобразования строк | $R_i\leftrightarrow R_j,\quad R_i\leftarrow cR_i\ (c\ne0),\quad R_i\leftarrow R_i+cR_j$ | Матрицы, определители | Элементарные преобразования строк - это три допустимые операции, которые заменяют систему на эквивалентную: перестановка строк, умножение строки на ненулевое число и прибавление кратной строки. |
| Прямой ход метода Гаусса | $R_i\leftarrow R_i-\frac{a_{ik}}{a_{kk}}R_k$ | Матрицы, определители | Прямой ход метода Гаусса зануляет коэффициенты под ведущими элементами. В результате система приводится к ступенчатому виду, из которого решение находят обратной подстановкой. |
| Обратная подстановка в методе Гаусса | $x_i=\frac{b'_i-\sum_{j=i+1}^{n}u_{ij}x_j}{u_{ii}}$ | Матрицы, определители | Обратная подстановка находит неизвестные после прямого хода метода Гаусса. Она идет снизу вверх по ступенчатой системе: сначала последняя ведущая переменная, затем предыдущие. |
| Ступенчатый вид матрицы | $p_1<p_2<\dots<p_r,\quad a_{ij}=0\ \text{ниже ведущих элементов}$ | Матрицы, определители | Ступенчатый вид матрицы - это форма, где ведущие элементы ненулевых строк смещаются вправо при движении вниз, а под каждым ведущим элементом стоят нули. |