Математика
Алгебра
Формулы для уравнений, преобразований, корней, степеней и функций.
194 формулы
Таблица формул
Показаны 1-60 из 194. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Дискриминант квадратного уравнения | $D = b^2 - 4ac$ | Алгебра | Дискриминант D=b^2-4ac определяет, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение ax^2+bx+c=0 и можно ли найти их через корень из D. |
| Корни квадратного уравнения | $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ | Алгебра | Формула корней квадратного уравнения выражает решения ax^2+bx+c=0 через коэффициенты a, b и дискриминант D, если a не равно нулю. |
| Базовая формула процентного изменения | $\frac{X_2 - X_1}{X_1} \times 100\%$ | Эластичность | Базовая формула процентного изменения: формула \frac{X_2 - X_1}{X_1} \times 100\% помогает оценить реакцию спроса или показателя на изменение фактора. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Ценовая эластичность спроса | $E_d = \left|\frac{\%\Delta Q_d}{\%\Delta P}\right|$ | Эластичность | Ценовая эластичность спроса: формула E_d = \left|\frac{\%\Delta Q_d}{\%\Delta P}\right| помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется требуется оценить реакцию спроса или показателя на изменение фактора. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Ценовая эластичность предложения | $E_s = \frac{\%\Delta Q_s}{\%\Delta P}$ | Эластичность | Ценовая эластичность предложения: формула E_s = \frac{\%\Delta Q_s}{\%\Delta P} помогает оценить реакцию спроса или показателя на изменение фактора. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Дуговая эластичность | $E_{arc} = \frac{\frac{Q_2 - Q_1}{(Q_2 + Q_1)/2}}{\frac{P_2 - P_1}{(P_2 + P_1)/2}}$ | Эластичность | Дуговая эластичность: формула E_{arc} = \frac{\frac{Q_2 - Q_1}{(Q_2 + Q_1)/2}}{\frac{P_2 - P_1}{(P_2 + P_1)/2}} помогает оценить реакцию спроса или показателя на изменение фактора. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Точечная эластичность | $E = \frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q}$ | Эластичность | Точечная эластичность: формула E = \frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q} помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется требуется оценить реакцию спроса или показателя на изменение фактора. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Перекрестная эластичность спроса | $E_{xy} = \frac{\%\Delta Q_x}{\%\Delta P_y}$ | Эластичность | Перекрестная эластичность спроса: формула E_{xy} = \frac{\%\Delta Q_x}{\%\Delta P_y} помогает оценить реакцию спроса или показателя на изменение фактора. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Эластичность спроса по доходу | $E_Y = \frac{\%\Delta Q_d}{\%\Delta Y}$ | Эластичность | Эластичность спроса по доходу: формула E_Y = \frac{\%\Delta Q_d}{\%\Delta Y} помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется требуется оценить реакцию спроса или показателя на изменение фактора. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Выручка и эластичность | $TR = P \cdot Q$ | Эластичность | Выручка и эластичность: формула TR = P \cdot Q помогает требуется требуется требуется требуется требуется выгоднее поднять цену. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Интерпретация |E| > 1, |E| < 1 и |E| = 1 | $\left|E\right| = \left|\frac{\%\Delta Q}{\%\Delta X}\right|$ | Эластичность | Интерпретация |E| > 1, |E| < 1 и |E| = 1: формула \left|E\right| = \left|\frac{\%\Delta Q}{\%\Delta X}\right| помогает важна сила реакции, а не знак направления. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Тождества для тангенса и котангенса | $1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x},\quad 1+\cot^2 x=\frac{1}{\sin^2 x}$ | Тригонометрия | Тождества для тангенса и котангенса выводятся из основного тригонометрического тождества делением на cos²x или sin²x с учетом ограничений. |
| Умножение суммы на число | $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ | Умножение, деление | Умножение суммы на число позволяет сначала сложить числа в скобках, а можно умножить каждое слагаемое на это число и сложить результаты. |
| Деление суммы на число | $(a+b):c=a:c+b:c$ | Умножение, деление | Деление суммы на число разрешает разделить каждое слагаемое на одно и то же число и сложить частные, если такие деления выполняются без остатка. |
| Порядок действий без скобок | $\text{умножение и деление} \; \rightarrow \; \text{сложение и вычитание}$ | Умножение, деление | В выражениях без скобок сначала выполняют умножение и деление по порядку слева направо, а затем сложение и вычитание по порядку слева направо. |
| Порядок действий со скобками | $\text{скобки} \; \rightarrow \; \text{умножение и деление} \; \rightarrow \; \text{сложение и вычитание}$ | Умножение, деление | Если в выражении есть скобки, сначала выполняют действия внутри скобок, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание. |
| Неизвестное делимое | $x:a=b \Rightarrow x=b\cdot a$ | Умножение, деление | Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель: если x : a = b, то x = b · a, а затем проверить ответ обратным делением. |
| Неизвестный делитель | $a:x=b \Rightarrow x=a:b$ | Умножение, деление | Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное: если a : x = b, то x = a : b, а правильность проверяется исходным делением. |
| Деление с остатком | $a=b\cdot q+r,\quad 0\le r<b$ | Умножение, деление | При делении с остатком делимое равно произведению делителя и неполного частного плюс остаток, причем остаток всегда меньше делителя. |
| Корень линейного уравнения ax + b = 0 | $x = -\frac{b}{a},\quad a \ne 0$ | Алгебра | Корень линейного уравнения ax + b = 0 находят переносом свободного члена в правую часть и делением на ненулевой коэффициент при x. |
| Основное свойство пропорции | $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\quad \Longleftrightarrow \quad ad = bc$ | Алгебра | Основное свойство пропорции утверждает: в равенстве двух дробей произведение крайних членов равно произведению средних членов. |
| Произведение степеней с одинаковым основанием | $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ | Алгебра | При умножении степеней с одинаковым основанием основание сохраняют, а показатели складывают, потому что множители одного вида объединяются. |
| Частное степеней с одинаковым основанием | $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n},\quad a \ne 0$ | Алгебра | При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием основание сохраняют, а из показателя числителя вычитают показатель знаменателя. |
| Степень произведения | $(ab)^n = a^n b^n$ | Алгебра | Степень произведения равна произведению степеней всех множителей: каждый множитель внутри скобок возводится в тот же показатель. |
| Степень степени | $(a^m)^n = a^{mn}$ | Алгебра | При возведении степени в степень основание сохраняют, а показатели перемножают, потому что число одинаковых множителей повторяется группами. |
| Расстояние между точками на координатной прямой | $d = |x_2 - x_1|$ | Алгебра | Расстояние между точками на координатной прямой равно модулю разности их координат, поэтому результат всегда неотрицателен. |
| Приведение подобных слагаемых | $ka + ma = (k + m)a$ | Алгебра | Приведение подобных слагаемых позволяет заменить сумму однотипных членов одним членом с общим буквенным множителем. Это базовое действие для упрощения выражений, решения линейных уравнений и подготовки многочленов к дальнейшим преобразованиям. |
| Произведение одночленов | $(ax^m)(bx^n) = abx^{m+n}$ | Алгебра | Произведение одночленов получают перемножением коэффициентов и сложением показателей степеней у одинаковых оснований. Формула связывает тему одночленов с правилами степеней и используется при умножении многочленов. |
| Степень одночлена | $(ax^m)^n = a^n x^{mn}$ | Алгебра | При возведении одночлена в степень коэффициент возводится в эту степень, а показатели степеней у переменных умножаются на показатель внешней степени. |
| Умножение многочлена на одночлен | $a(b + c) = ab + ac$ | Алгебра | Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить на этот одночлен каждый член многочлена и затем привести подобные слагаемые, если они появились. |
| Умножение многочлена на многочлен | $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$ | Алгебра | Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем приводят подобные слагаемые. |
| Вынесение общего множителя за скобки | $ab + ac = a(b + c)$ | Алгебра | Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму одночленов с общей частью в произведение. Это первый и самый важный способ разложения многочлена на множители в 7 классе. |
| Разложение многочлена группировкой | $ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y)$ | Алгебра | Разложение группировкой помогает разложить многочлен на множители, если общий множитель виден не сразу во всех членах, но появляется после объединения слагаемых в пары или группы. |
| Линейное уравнение с двумя переменными | $ax + by = c$ | Алгебра | Линейное уравнение с двумя переменными связывает две неизвестные величины первой степени. Его решениями являются пары чисел, а графиком на координатной плоскости обычно служит прямая. |
| Метод подстановки для системы линейных уравнений | $y = kx + b,\quad ax + by = c$ | Алгебра | Метод подстановки решает систему линейных уравнений так: из одного уравнения выражают одну переменную и подставляют полученное выражение в другое уравнение. |
| Метод сложения для системы линейных уравнений | $a_1x + b_1y = c_1,\quad a_2x + b_2y = c_2$ | Алгебра | Метод сложения решает систему линейных уравнений за счет сложения или вычитания уравнений так, чтобы одна переменная исчезла. |
| Линейное уравнение вида ax + b = c | $ax + b = c,\quad x = \frac{c - b}{a},\quad a \ne 0$ | Алгебра | Линейное уравнение вида ax + b = c решается переносом свободного члена и делением на коэффициент при неизвестной. Это основной шаблон для большинства уравнений 7 класса. |
| Равносильные преобразования уравнения | $A = B \Longleftrightarrow A + m = B + m$ | Алгебра | Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент. |
| Деление одночленов | $\frac{a x^m}{b x^n}=\frac{a}{b}x^{m-n},\quad b\ne0,\ x\ne0$ | Алгебра | Деление одночленов выполняют как деление коэффициентов и вычитание показателей одинаковых буквенных множителей. Это правило продолжает свойства степеней. |
| Сложение многочленов | $(a_nx^n+\dots+a_0)+(b_nx^n+\dots+b_0)=(a_n+b_n)x^n+\dots+(a_0+b_0)$ | Алгебра | При сложении многочленов складывают подобные члены: коэффициенты при одинаковых степенях переменной объединяются. Она уточняет, какие величины входят в запись (a_nx^n+\dots+a_0)+(b_nx^n+\dots+b_0)=(a_n+b_n)x^n+\dots+(a_0+b_0) и какой результат получают после подстановки. |
| Вычитание многочленов | $P(x)-Q(x)=P(x)+(-Q(x))$ | Алгебра | При вычитании многочлена нужно изменить знаки всех его членов, а затем привести подобные слагаемые. Она уточняет, какие величины входят в запись P(x)-Q(x)=P(x)+(-Q(x)) и какой результат получают после подстановки. |
| Нулевая степень ненулевого числа | $a^0=1,\quad a\ne0$ | Алгебра | Нулевая степень любого ненулевого числа равна единице. Условие a не равно нулю обязательно: выражение 0^0 в школьной алгебре не считают определенным. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Одночлен в стандартном виде | $c\,x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_k^{\alpha_k}$ | Алгебра | Стандартный вид одночлена записывает числовой коэффициент первым, а одинаковые буквенные множители объединяет в степени с натуральными показателями. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Коэффициент одночлена | $A=c\,x_1^{\alpha_1}\cdots x_k^{\alpha_k}\quad\Rightarrow\quad c\text{ — коэффициент}$ | Алгебра | Коэффициент одночлена — это числовой множитель в его стандартном виде. Он показывает, во сколько раз взята буквенная часть, включая знак выражения. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Линейная функция по коэффициентам k и b | $y=kx+b$ | Функции и графики | Линейная функция y=kx+b задает прямую: коэффициент k отвечает за наклон графика, а b показывает точку пересечения с осью Oy. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Значение линейной функции по заданному аргументу | $y_0 = kx_0 + b$ | Функции и графики | Формула позволяет найти значение линейной функции y = kx + b в конкретной точке: вместо x подставляют заданный аргумент x0 и выполняют обычные вычисления. Она связывает з. |
| Аргумент линейной функции по известному значению | $x = \frac{y-b}{k},\quad k \ne 0$ | Функции и графики | Если значение линейной функции y = kx + b известно, аргумент находят обратным ходом: вычитают свободный член и делят результат на ненулевой коэффициент k. Она связывает з. |
| Нуль линейной функции y = kx + b | $x_0 = -\frac{b}{k},\quad k \ne 0$ | Функции и графики | Нуль линейной функции - это такое значение аргумента, при котором y становится равным нулю. Для y = kx + b его находят по формуле x0 = -b/k. Она связывает запись функции. |
| Пересечение линейной функции с осью Oy | $x=0,\quad y=b$ | Функции и графики | График линейной функции y = kx + b пересекает ось Oy в точке с абсциссой 0 и ординатой b. Свободный член сразу показывает высоту этой точки. Она связывает запись функции. |
| Разность значений линейной функции | $y_2-y_1=k(x_2-x_1)$ | Функции и графики | У линейной функции изменение значения равно коэффициенту k, умноженному на изменение аргумента. Свободный член при вычитании исчезает. Она связывает запись функции или ур. |
| Условие параллельности графиков линейных функций | $k_1=k_2,\quad b_1\ne b_2$ | Функции и графики | Графики двух линейных функций y = k1x + b1 и y = k2x + b2 параллельны и не совпадают, если их угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны. Она связывает запись. |
| Степень числа минус один | $(-1)^n=\begin{cases}1, & n\text{ четное},\\-1, & n\text{ нечетное}.\end{cases}$ | Алгебра | Степень числа -1 зависит от четности показателя: при четном показателе результат равен 1, при нечетном - остается -1. Она показывает, какие части выражения преобразуются, и помогает не терять знаки, степени и ограничения. |
| Распределительный закон умножения для скобок | $a(b+c)=ab+ac$ | Алгебра | При умножении числа или выражения на сумму множитель умножают на каждое слагаемое. Это основа раскрытия скобок и вынесения общего множителя. Она показывает, какие части в. |
| Абсцисса точки линейного уравнения с двумя переменными | $x=\frac{c-by}{a},\quad a\ne0$ | Алгебра | Если точка лежит на прямой ax + by = c и известна ее ордината y, абсциссу x находят вычитанием by из c и делением на ненулевой коэффициент a. Она связывает запись функции. |
| Произведение множителей вида x + a и x + b | $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$ | Алгебра | Произведение двух линейных множителей с одинаковым первым членом раскрывается в квадратный трехчлен: коэффициент при x равен сумме a и b, свободный член - их произведению. |
| Ордината точки линейного уравнения с двумя переменными | $y=\frac{c-ax}{b},\quad b\ne0$ | Алгебра | Если точка удовлетворяет уравнению ax + by = c и известна ее абсцисса x, ординату y находят по формуле y = (c - ax)/b. Она связывает запись функции или уравнения с координатами точки и помогает проверить результат обратной подстановкой. |
| Коэффициент произведения одночленов | $(c_1M_1)(c_2M_2)=c_1c_2\,M_1M_2$ | Алгебра | При умножении одночленов числовые коэффициенты перемножаются отдельно, а буквенные множители объединяются по правилам степеней. Она показывает, какие части выражения преобразуются, и помогает не терять знаки, степени и ограничения. |
| Степень нуля с натуральным показателем | $0^n=0,\quad n\in\mathbb{N}$ | Алгебра | Ноль в любой натуральной степени равен нулю, потому что произведение содержит хотя бы один нулевой множитель. Она показывает, какие части выражения преобразуются, и помогает не терять знаки, степени и ограничения. |
| Степень частного двух выражений | $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n},\quad b\ne0$ | Алгебра | Степень частного показывает, что при возведении дроби в натуральную степень отдельно возводят в эту степень числитель и знаменатель. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Квадрат суммы двух выражений | $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ | Алгебра | Квадрат суммы равен квадрату первого выражения, удвоенному произведению выражений и квадрату второго выражения. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |