Математика
Алгебра
Формулы для уравнений, преобразований, корней, степеней и функций.
55 формул
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Дискриминант квадратного уравнения | $D = b^2 - 4ac$ | Алгебра | Дискриминант помогает определить количество корней квадратного уравнения и найти эти корни. |
| Корни квадратного уравнения | $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ | Алгебра | Формула корней квадратного уравнения позволяет найти решения уравнения ax² + bx + c = 0. |
| Базовая формула процентного изменения | $\frac{X_2 - X_1}{X_1} \times 100\%$ | Эластичность | Процентное изменение показывает, на сколько процентов новая величина отличается от исходной. В эластичности эта базовая запись нужна для расчета реакции количества, цены, дохода или цены связанного товара. |
| Ценовая эластичность спроса | $E_d = \left|\frac{\%\Delta Q_d}{\%\Delta P}\right|$ | Эластичность | Ценовая эластичность спроса измеряет, насколько сильно меняется спрос при изменении цены. В учебной практике результат обычно читают по модулю, чтобы не путать знак закона спроса с силой реакции. |
| Ценовая эластичность предложения | $E_s = \frac{\%\Delta Q_s}{\%\Delta P}$ | Эластичность | Ценовая эластичность предложения показывает, насколько сильно производители меняют объем выпуска при изменении цены. В отличие от спроса, коэффициент предложения обычно читают без модуля, потому что связь цены и выпуска положительная. |
| Дуговая эластичность | $E_{arc} = \frac{\frac{Q_2 - Q_1}{(Q_2 + Q_1)/2}}{\frac{P_2 - P_1}{(P_2 + P_1)/2}}$ | Эластичность | Дуговая эластичность сравнивает две точки на кривой и использует средние значения как базу. Это удобный способ убрать зависимость ответа от того, с какой стороны вы считаете изменение. |
| Точечная эластичность | $E = \frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q}$ | Эластичность | Точечная эластичность измеряет чувствительность в конкретной точке кривой. Она опирается на производную и удобна там, где нужно понять локальную реакцию на очень малое изменение цены. |
| Перекрестная эластичность спроса | $E_{xy} = \frac{\%\Delta Q_x}{\%\Delta P_y}$ | Эластичность | Перекрестная эластичность показывает, как спрос на один товар реагирует на изменение цены другого товара. Она помогает отличить заменители от дополняющих товаров и оценить силу связи между рынками. |
| Эластичность спроса по доходу | $E_Y = \frac{\%\Delta Q_d}{\%\Delta Y}$ | Эластичность | Эластичность спроса по доходу показывает, как меняется спрос при изменении дохода потребителя. Она помогает отличить нормальные товары от низших и понять, насколько товар связан с ростом благосостояния. |
| Выручка и эластичность | $TR = P \cdot Q$ | Эластичность | Выручка равна цене, умноженной на количество. Связь с эластичностью помогает понять, когда снижение цены может увеличить выручку, а когда выгоднее поднять цену. |
| Интерпретация |E| > 1, |E| < 1 и |E| = 1 | $\left|E\right| = \left|\frac{\%\Delta Q}{\%\Delta X}\right|$ | Эластичность | Интерпретация по модулю позволяет быстро понять, сильна или слаба реакция одной переменной на другую. Порог 1 делит коэффициенты на эластичные, неэластичные и единичные. |
| Тождества для тангенса и котангенса | $1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x},\quad 1+\cot^2 x=\frac{1}{\sin^2 x}$ | Тригонометрия | Тождества для тангенса и котангенса выводятся из основного тригонометрического тождества делением на cos²x или sin²x с учетом ограничений. |
| Корень линейного уравнения ax + b = 0 | $x = -\frac{b}{a},\quad a \ne 0$ | Алгебра | Корень линейного уравнения ax + b = 0 находится переносом свободного члена и делением на коэффициент при x. |
| Основное свойство пропорции | $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\quad \Longleftrightarrow \quad ad = bc$ | Алгебра | В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов. |
| Произведение степеней с одинаковым основанием | $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ | Алгебра | При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются. |
| Частное степеней с одинаковым основанием | $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n},\quad a \ne 0$ | Алгебра | При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием показатели вычитаются. |
| Степень произведения | $(ab)^n = a^n b^n$ | Алгебра | Степень произведения равна произведению степеней каждого множителя. |
| Степень степени | $(a^m)^n = a^{mn}$ | Алгебра | При возведении степени в степень показатели перемножаются. |
| Расстояние между точками на координатной прямой | $d = |x_2 - x_1|$ | Алгебра | Расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат. |
| Приведение подобных слагаемых | $ka + ma = (k + m)a$ | Алгебра | Приведение подобных слагаемых позволяет заменить сумму однотипных членов одним членом с общим буквенным множителем. Это базовое действие для упрощения выражений, решения линейных уравнений и подготовки многочленов к дальнейшим преобразованиям. |
| Произведение одночленов | $(ax^m)(bx^n) = abx^{m+n}$ | Алгебра | Произведение одночленов получают перемножением коэффициентов и сложением показателей степеней у одинаковых оснований. Формула связывает тему одночленов с правилами степеней и используется при умножении многочленов. |
| Степень одночлена | $(ax^m)^n = a^n x^{mn}$ | Алгебра | При возведении одночлена в степень коэффициент возводится в эту степень, а показатели степеней у переменных умножаются на показатель внешней степени. |
| Умножение многочлена на одночлен | $a(b + c) = ab + ac$ | Алгебра | Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить на этот одночлен каждый член многочлена и затем привести подобные слагаемые, если они появились. |
| Умножение многочлена на многочлен | $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$ | Алгебра | Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем приводят подобные слагаемые. |
| Вынесение общего множителя за скобки | $ab + ac = a(b + c)$ | Алгебра | Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму одночленов с общей частью в произведение. Это первый и самый важный способ разложения многочлена на множители в 7 классе. |
| Разложение многочлена группировкой | $ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y)$ | Алгебра | Разложение группировкой помогает разложить многочлен на множители, если общий множитель виден не сразу во всех членах, но появляется после объединения слагаемых в пары или группы. |
| Линейное уравнение с двумя переменными | $ax + by = c$ | Алгебра | Линейное уравнение с двумя переменными связывает две неизвестные величины первой степени. Его решениями являются пары чисел, а графиком на координатной плоскости обычно служит прямая. |
| Метод подстановки для системы линейных уравнений | $y = kx + b,\quad ax + by = c$ | Алгебра | Метод подстановки решает систему линейных уравнений так: из одного уравнения выражают одну переменную и подставляют полученное выражение в другое уравнение. |
| Метод сложения для системы линейных уравнений | $a_1x + b_1y = c_1,\quad a_2x + b_2y = c_2$ | Алгебра | Метод сложения решает систему линейных уравнений за счет сложения или вычитания уравнений так, чтобы одна переменная исчезла. |
| Линейное уравнение вида ax + b = c | $ax + b = c,\quad x = \frac{c - b}{a},\quad a \ne 0$ | Алгебра | Линейное уравнение вида ax + b = c решается переносом свободного члена и делением на коэффициент при неизвестной. Это основной шаблон для большинства уравнений 7 класса. |
| Равносильные преобразования уравнения | $A = B \Longleftrightarrow A + m = B + m$ | Алгебра | Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент. |
| Арифметический квадратный корень | \sqrt{a}=x\quad\Longleftrightarrow\quad x^2=a,\;x\ge 0,\;a\ge 0 |
Алгебра | Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a - это неотрицательное число, квадрат которого равен a; определение помогает отличать значение корня от решений уравнения с квадратом. |
| Квадрат арифметического квадратного корня | $(\sqrt{a})^2=a,\quad a\ge 0$ | Алгебра | Квадрат арифметического квадратного корня возвращает подкоренное выражение, если оно неотрицательно; правило нужно для упрощения радикалов и контроля области допустимых значений. |
| Квадратный корень из частного | \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},\quad a\ge 0,\;b>0 |
Алгебра | Квадратный корень из частного равен частному квадратных корней, если числитель неотрицателен, а знаменатель положителен. |
| Вынесение множителя из-под квадратного корня | $\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt{b},\quad b\ge 0$ | Алгебра | Вынесение множителя из-под корня отделяет полный квадрат внутри подкоренного выражения и превращает его в множитель перед корнем. |
| Внесение множителя под квадратный корень | a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}\quad\text{при }a\ge 0,\;b\ge 0 |
Алгебра | Внесение множителя под корень заменяет множитель перед радикалом его квадратом под знаком корня: например, 3\sqrt{5}=\sqrt{45}. |
| Сложение подобных квадратных корней | $k\sqrt{a}+m\sqrt{a}=(k+m)\sqrt{a},\quad a\ge 0$ | Алгебра | Подобные квадратные корни имеют одинаковую подкоренную часть, поэтому складываются их коэффициенты перед корнем; правило помогает упрощать суммы радикалов после вынесения множителей. |
| Неполное квадратное уравнение x² = a | x^2=a\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{a}\;(a>0),\;x=0\;(a=0) |
Алгебра | Уравнение x² = a решается через квадратный корень: при положительном a есть два противоположных корня, при нуле один корень, а при отрицательном a действительных решений нет. |
| Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 | $ax^2+bx=0\quad\Rightarrow\quad x(ax+b)=0$ | Алгебра | Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 решается вынесением общего множителя x за скобки; так сразу видны корень x = 0 и корень линейного множителя. |
| Корни приведенного квадратного уравнения | $x^2+px+q=0,\quad x_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$ | Алгебра | Приведенное квадратное уравнение имеет коэффициент 1 при x², поэтому формула корней записывается через p и q и напрямую связывается с теоремой Виета. |
| Разложение квадратного трехчлена на множители | $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ | Алгебра | Если x_1 и x_2 - корни уравнения ax^2+bx+c=0, то трехчлен обращается в ноль при x=x_1 и x=x_2, поэтому записывается как a(x-x_1)(x-x_2). |
| n-й член арифметической прогрессии | $a_n=a_1+(n-1)d$ | Алгебра | n-й член арифметической прогрессии равен первому члену плюс произведение разности прогрессии на n - 1 шагов от начала последовательности. |
| Сумма первых n членов арифметической прогрессии | $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ | Алгебра | Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна среднему арифметическому первого и n-го членов, умноженному на число членов. |
| n-й член геометрической прогрессии | $b_n=b_1 q^{n-1}$ | Алгебра | n-й член геометрической прогрессии равен первому члену, умноженному на знаменатель прогрессии в степени n - 1, то есть после n - 1 одинаковых умножений. |
| Сумма первых n членов геометрической прогрессии | $S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1},\quad q\ne1$ | Алгебра | Сумма первых n членов геометрической прогрессии выражается через первый член, знаменатель q и число членов n, если q не равен 1. |
| Теорема Виета для квадратного уравнения | $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\quad x_1x_2 = \frac{c}{a}$ | Алгебра | Теорема Виета связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами. |
| Квадрат суммы | $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ | Алгебра | Квадрат суммы раскрывает квадрат двучлена через квадраты слагаемых и удвоенное произведение. |
| Квадрат разности | $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ | Алгебра | Квадрат разности раскрывает квадрат двучлена с минусом через квадраты и удвоенное произведение. |
| Разность квадратов | $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ | Алгебра | Разность квадратов раскладывает выражение a² - b² на произведение суммы и разности. |
| Свойство квадратного корня из произведения | $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b},\quad a \ge 0,\ b \ge 0$ | Алгебра | Квадратный корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней. |
| Альгебра пределов | $\lim_{x\to a}(f(x)\pm g(x))=\lim_{x\to a}f(x)\pm\lim_{x\to a}g(x),\qquad \lim_{x\to a}(f(x)g(x))=\left(\lim_{x\to a}f(x)\right)\left(\lim_{x\to a}g(x)\right),\qquad \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}$ | Пределы, ряды | Альгебра пределов дает набор правил, которые позволяют переносить предельный переход через сумму, произведение и частное. Это один из самых практичных инструментов начального анализа. |
| Биномиальный ряд | $(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n}x^n,\quad \binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!},\quad |x|<1\text{ (обычно)}$ | Пределы, ряды | Биномиальный ряд обобщает двойную степень и рациональные степени через обобщенные биномиальные коэффициенты. Он расширяет идею (1+x)^m на нецелое α и даёт удобный локальный аппарат для корней и дробных степеней. |
| Матричное произведение | $(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}$ | Матрицы, определители | Матричное произведение строит элемент новой матрицы как скалярное произведение строки первой матрицы и столбца второй. Порядок множителей важен. |
| Обратная матрица 2x2 | $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ | Матрицы, определители | Обратная матрица 2x2 существует только при ненулевом определителе. Она обращает действие исходной матрицы: A^{-1}A = I, то есть возвращает исходный вектор. |
| Решение системы 2x2 по правилу Крамера | $x=\frac{\Delta_x}{\Delta},\quad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$ | Матрицы, определители | Правило Крамера выражает решение системы двух линейных уравнений через определители. Метод работает, когда главный определитель системы не равен нулю. |