Математика / Алгебра

Теорема Виета для квадратного уравнения

Теорема Виета выражает сумму и произведение корней квадратного уравнения через его коэффициенты без отдельного вычисления каждого корня.

Опубликовано: 3 июня 2026 г.Обновлено: 3 июня 2026 г.

Школьная программа ОГЭ ЕГЭ Формулы по математике за 8 класс Алгебра Калькулятор Есть историческая справка

Формула

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\quad x_1x_2 = \frac{c}{a}

algebra-scheme Схема: теорема Виета для квадратного уравнения

Текстовая схема показывает, какие величины из условия подставляются в формулу и какой элемент требуется найти.

квадратное уравнение ax^2 + bx + c = 0: сумма корней равна -b/a, а произведение равно c/a.

Обозначения

$x_1, x_2$: корни квадратного уравнения
a, b, c: коэффициенты квадратного уравнения

Условия применения

Формула применяется к ситуации: квадратное уравнение ax^2 + bx + c = 0.
Все величины должны быть выражены в согласованных единицах перед подстановкой.
В условии должны быть известны все величины, кроме одной искомой.
Выражения должны быть определены; ограничения на корни, знаменатели и коэффициенты сохраняются.

Ограничения

Формулу нельзя применять, если объект задачи не соответствует условию: квадратное уравнение ax^2 + bx + c = 0.
Ошибки в единицах измерения меняют численный ответ даже при правильной алгебре.
Если в задаче есть дополнительные этапы, их считают отдельными формулами.
Нельзя менять структуру выражения: скобки, знаки и показатели степеней должны сохраняться до конца преобразования.

Подробное объяснение

Теорема Виета для квадратного уравнения описывает ситуацию «квадратное уравнение ax^2 + bx + c = 0»: сумма корней равна -b/a, а произведение равно c/a. Смысл результата не сводится к подстановке чисел: перед вычислением нужно распознать, какие элементы задачи соответствуют буквам в формуле. Идея формулы такова: коэффициенты квадратного трехчлена сохраняют информацию о сумме и произведении его корней. Поэтому равенство работает не для любой похожей записи, а для строго указанной конфигурации или физической модели. Если перепутать элемент, формула начнет считать другую величину. Поведение результата удобно проверять по зависимости величин. Для неприведенного уравнения нужно делить коэффициенты b и c на a. При увеличении множителя, стоящего в числителе или произведении, результат обычно растет; при увеличении величины в знаменателе уменьшается. В типовых школьных задачах сначала выписывают данные, затем подставляют их в формулу и только после этого округляют или переводят единицы. Такой порядок уменьшает риск арифметической ошибки и помогает увидеть, не требуется ли перед основной формулой дополнительный шаг. Перед записью ответа полезно выполнить короткую проверку: сравнить результат с геометрическим смыслом, размерностью или обратной подстановкой. Если проверка противоречит условию, чаще всего перепутаны стороны, знаки, единицы или выбран не тот этап процесса.

Как пользоваться формулой

Определите, что в задаче действительно рассматривается квадратное уравнение ax^2 + bx + c = 0.
Выпишите известные величины и переведите их в согласованные единицы.
Подставьте значения в формулу, не меняя местами обозначения.
Выполните вычисления по действиям и сохраните единицы результата.
Проверьте ответ по смыслу: для неприведенного уравнения нужно делить коэффициенты b и c на a.

Историческая справка

Алгебраические тождества и свойства уравнений складывались вместе с буквенной символикой XVI-XVII веков. До современной записи похожие правила часто формулировали словами или через отдельные числовые примеры. Развитие школьной алгебры сделало такие равенства универсальным инструментом преобразований. Для темы «теорема Виета для квадратного уравнения» исторически важна практическая задача: квадратное уравнение ax^2 + bx + c = 0 нужно было не только описать, но и измерить. Современная формула стала удобной потому, что отделяет постоянные свойства объекта от переменных данных конкретной задачи. Единственная дата или один автор обычно не исчерпывают происхождение школьной записи. В учебниках она закрепилась как итог долгого отбора обозначений, единиц и способов доказательства или эксперимента. Поэтому исторический блок корректнее связывает формулу с научной традицией и областью применения, а не превращает ее в легенду об одном открытии.

Историческая линия формулы

Для темы «теорема Виета для квадратного уравнения» корректная атрибуция указывает не только имя, если оно традиционно связано с результатом, но и более широкий контекст: школьная формула является современной записью доказательства, тождества или экспериментального закона. Поэтому ее следует связывать с развитием алгебраической символики, а не с произвольным единичным авторством.

Франсуа Виет 1540-1603

Пример

Условие: дано уравнение x² - 7x + 12 = 0. Дано: a = 1, b = -7, c = 12. Найти: сумму и произведение корней. Подстановка: x1 + x2 = -b/a = 7, x1x2 = c/a = 12. Подходящие числа 3 и 4 имеют сумму 7 и произведение 12. Ответ: корни 3 и 4. Проверка: 3² - 7·3 + 12 = 0 и 4² - 7·4 + 12 = 0. Развернутая проверка. Условие уже содержит все данные для одной подстановки: x_1, x_2 — корни квадратного уравнения; a, b, c — коэффициенты квадратного уравнения. Сначала записывают известные величины, затем выполняют вычисление без округления промежуточных результатов. Для контроля можно решить близкую задачу: Для x² - 9x + 20 = 0 подберите корни по Виету. Решение: Нужны числа с суммой 9 и произведением 20: это 4 и 5. Ответ: 4 и 5. Такой контроль показывает, что порядок действий, единицы и смысл результата согласованы.

Частая ошибка

Частая ошибка — применять формулу к похожей, но другой ситуации: квадратное уравнение ax^2 + bx + c = 0 должен быть установлен по условию или доказан. Еще одна ошибка — подставлять величины без единиц и получать численно верный, но физически или геометрически неверный ответ. Отдельно проверяйте ключевой нюанс: для неприведенного уравнения нужно делить коэффициенты b и c на a. В алгебраических преобразованиях нельзя терять скобки и знаки, в геометрии — брать размер с рисунка на глаз, а в физике — смешивать этапы процесса. Надежная самопроверка: выполнить обратную подстановку или оценить, должен ли результат быть больше, меньше или иметь указанную размерность.

Практика

Задачи с решением

Проверить корни

Условие. Для x² - 9x + 20 = 0 подберите корни по Виету.

Решение. Нужны числа с суммой 9 и произведением 20: это 4 и 5.

Ответ. 4 и 5

Решение использует те же обозначения, что и основная формула; после вычисления ответ проверяется по единицам и смыслу результата.

Неприведенное уравнение

Условие. Для 2x² - 5x + 2 = 0 найдите сумму и произведение корней.

Решение. x1 + x2 = -(-5)/2 = 2,5; x1x2 = 2/2 = 1.

Ответ. Сумма 2,5; произведение 1

Калькулятор

Посчитать по формуле

abc

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований ОГЭ по математике, раздел «Алгебра»
Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. Алгебра. 7 класс и 8 класс. М.: Просвещение
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра. 7-8 классы. М.: Просвещение

Связанные формулы

Математика

Дискриминант квадратного уравнения

$D = b^2 - 4ac$

Дискриминант D=b^2-4ac определяет, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение ax^2+bx+c=0 и можно ли найти их через корень из D.

Математика

Корни квадратного уравнения

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Формула корней квадратного уравнения выражает решения ax^2+bx+c=0 через коэффициенты a, b и дискриминант D, если a не равно нулю.

Математика

Разложение квадратного трехчлена на множители

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$

Если x_1 и x_2 - корни уравнения ax^2+bx+c=0, то трехчлен обращается в ноль при x=x_1 и x=x_2, поэтому записывается как a(x-x_1)(x-x_2).

Математика

Неполное квадратное уравнение x² = a

$x^2=a\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{a}\;(a>0),\;x=0\;(a=0)$

Уравнение x² = a решается через квадратный корень: при положительном a есть два противоположных корня, при нуле один корень, а при отрицательном a действительных решений нет.