Математический анализ
Непрерывные функции
Формулы и критерии для функций без скачков и устранимых дыр в рассматриваемой точке или на промежутке.
7 формул
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Непрерывность функции в точке | $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$ | Пределы, ряды | Непрерывность в точке означает, что предельное значение функции совпадает с ее значением в самой точке. Это первый и самый важный мост от понятия предела к вычислениям и графикам. |
| Предел функции двух переменных в точке | $\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=L \iff \forall \epsilon>0 \exists \delta>0:0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta \Rightarrow |f(x,y)-L|<\epsilon$ | Пределы, ряды | Предел функции двух переменных в точке: формула \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=L \iff \forall \epsilon>0 \exists \delta>0:0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta \Rightarrow |f(x,y)-L|<\epsilon помогает найти предел с учетом области определения и ведущих членов. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Степенной ряд | $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n$ | Пределы, ряды | Степенной ряд: формула \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Признак сравнения для несобственных интегралов | $0\le f(x)\le g(x),\quad \int_a^b g(x)\,dx<\infty\ \Rightarrow\ \int_a^b f(x)\,dx<\infty$ | Пределы, ряды | Признак сравнения переносит сходимость или расходимость несобственного интеграла с известной функции на сравниваемую неотрицательную функцию через поточечное неравенство. |
| Верхняя и нижняя суммы Дарбу | $U(f,P)=\sum_{i=1}^{n} M_i\Delta x_i,\quad L(f,P)=\sum_{i=1}^{n} m_i\Delta x_i$ | Пределы, ряды | Суммы Дарбу оценивают площадь под ограниченной функцией сверху и снизу. Их сближение служит строгим критерием римановой интегрируемости. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Теорема о среднем для определенного интеграла | $\int_a^b f(x)\,dx=f(c)(b-a),\quad c\in[a,b]$ | Пределы, ряды | Теорема о среднем утверждает, что интеграл непрерывной функции на отрезке равен значению функции в некоторой точке, умноженному на длину отрезка. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Равномерная непрерывность на отрезке | $\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ |x-y|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon\quad(x,y\in E)$ | Пределы, ряды | Равномерная непрерывность требует одного δ для всех точек множества E. На замкнутом отрезке всякая непрерывная функция равномерно непрерывна по теореме Гейне-Кантора. |