Все формулы РФ

Математика: классы

Формулы по математике за 7 класс

Повторить первые формулы алгебры и геометрии: многочлены, сокращенное умножение, углы, треугольники.

Классовая подборка

Что входит

Объем

97 формул

Этой страницы достаточно, чтобы быстро повторить тему, сверить запись формулы и открыть подробный разбор.

Темы

5 разделов

Алгебра, Функции и графики, Геометрия, Арифметика и теория чисел, Вероятность и статистика

Практика

28 калькуляторов

Где расчет однозначен, страницу можно использовать для быстрой проверки ответа.

Как пользоваться страницей

Начните со сводной таблицы, затем откройте нужную формулу: на отдельной странице есть обозначения, условия применения, пример, частая ошибка, историческая справка и связанные материалы.

97 формул

Таблица формул

Показаны 1-60 из 97. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.

Формула Запись Тема Для чего нужна
Корень линейного уравнения ax + b = 0 $x = -\frac{b}{a},\quad a \ne 0$ Алгебра Корень линейного уравнения ax + b = 0 находят переносом свободного члена в правую часть и делением на ненулевой коэффициент при x.
Основное свойство пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\quad \Longleftrightarrow \quad ad = bc$ Алгебра Основное свойство пропорции утверждает: в равенстве двух дробей произведение крайних членов равно произведению средних членов.
Произведение степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ Алгебра При умножении степеней с одинаковым основанием основание сохраняют, а показатели складывают, потому что множители одного вида объединяются.
Частное степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n},\quad a \ne 0$ Алгебра При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием основание сохраняют, а из показателя числителя вычитают показатель знаменателя.
Степень произведения $(ab)^n = a^n b^n$ Алгебра Степень произведения равна произведению степеней всех множителей: каждый множитель внутри скобок возводится в тот же показатель.
Степень степени $(a^m)^n = a^{mn}$ Алгебра При возведении степени в степень основание сохраняют, а показатели перемножают, потому что число одинаковых множителей повторяется группами.
Линейная функция $y = kx + b$ Функции и графики Линейная функция задает зависимость y = kx + b, где график представляет собой прямую, k отвечает за наклон, а b - за пересечение с осью Oy.
Угловой коэффициент прямой $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\quad x_1 \ne x_2$ Функции и графики Угловой коэффициент прямой равен отношению изменения y к изменению x между двумя разными точками этой прямой. Запись сразу показывает смысл результата и ограничения для подстановки.
Сумма смежных углов $\alpha + \beta = 180^\circ$ Геометрия Сумма смежных углов: смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны образуют прямую. В вычислениях это записывают как alpha + beta = 180 градусов, если обозначения выбраны как в формуле.
Вертикальные углы $\alpha = \beta$ Геометрия Вертикальные углы: вертикальные углы возникают при пересечении двух прямых и лежат напротив друг друга. В вычислениях это записывают как alpha = beta, если обозначения выбраны как в формуле.
Сумма углов треугольника $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ Геометрия Сумма углов треугольника: три внутренних угла любого треугольника вместе образуют 180 градусов. В вычислениях это записывают как alpha + beta + gamma = 180 градусов, если обозначения выбраны как в формуле.
Внешний угол треугольника $\alpha_{\text{внеш}} = \beta + \gamma$ Геометрия Внешний угол треугольника: внешний угол при вершине треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В вычислениях это записывают как alpha внеш = beta + gamma, если обозначения выбраны как в формуле.
Периметр треугольника $P = a + b + c$ Геометрия Периметр треугольника: периметр треугольника равен длине всей его границы. В вычислениях это записывают как P = a + b + c, если обозначения выбраны как в формуле.
Периметр прямоугольника $P = 2(a + b)$ Геометрия Периметр прямоугольника: периметр прямоугольника складывается из двух длин и двух ширин. В вычислениях это записывают как P = 2(a + b), если обозначения выбраны как в формуле.
Площадь прямоугольника $S = ab$ Геометрия Площадь прямоугольника: площадь прямоугольника равна числу единичных квадратов в прямоугольной сетке. В вычислениях это записывают как S = ab, если обозначения выбраны как в формуле.
Расстояние между точками на координатной прямой $d = |x_2 - x_1|$ Алгебра Расстояние между точками на координатной прямой равно модулю разности их координат, поэтому результат всегда неотрицателен.
Приведение подобных слагаемых $ka + ma = (k + m)a$ Алгебра Приведение подобных слагаемых позволяет заменить сумму однотипных членов одним членом с общим буквенным множителем. Это базовое действие для упрощения выражений, решения линейных уравнений и подготовки многочленов к дальнейшим преобразованиям.
Произведение одночленов $(ax^m)(bx^n) = abx^{m+n}$ Алгебра Произведение одночленов получают перемножением коэффициентов и сложением показателей степеней у одинаковых оснований. Формула связывает тему одночленов с правилами степеней и используется при умножении многочленов.
Степень одночлена $(ax^m)^n = a^n x^{mn}$ Алгебра При возведении одночлена в степень коэффициент возводится в эту степень, а показатели степеней у переменных умножаются на показатель внешней степени.
Умножение многочлена на одночлен $a(b + c) = ab + ac$ Алгебра Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить на этот одночлен каждый член многочлена и затем привести подобные слагаемые, если они появились.
Умножение многочлена на многочлен $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$ Алгебра Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем приводят подобные слагаемые.
Вынесение общего множителя за скобки $ab + ac = a(b + c)$ Алгебра Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму одночленов с общей частью в произведение. Это первый и самый важный способ разложения многочлена на множители в 7 классе.
Разложение многочлена группировкой $ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y)$ Алгебра Разложение группировкой помогает разложить многочлен на множители, если общий множитель виден не сразу во всех членах, но появляется после объединения слагаемых в пары или группы.
Линейное уравнение с двумя переменными $ax + by = c$ Алгебра Линейное уравнение с двумя переменными связывает две неизвестные величины первой степени. Его решениями являются пары чисел, а графиком на координатной плоскости обычно служит прямая.
Метод подстановки для системы линейных уравнений $y = kx + b,\quad ax + by = c$ Алгебра Метод подстановки решает систему линейных уравнений так: из одного уравнения выражают одну переменную и подставляют полученное выражение в другое уравнение.
Метод сложения для системы линейных уравнений $a_1x + b_1y = c_1,\quad a_2x + b_2y = c_2$ Алгебра Метод сложения решает систему линейных уравнений за счет сложения или вычитания уравнений так, чтобы одна переменная исчезла.
Линейное уравнение вида ax + b = c $ax + b = c,\quad x = \frac{c - b}{a},\quad a \ne 0$ Алгебра Линейное уравнение вида ax + b = c решается переносом свободного члена и делением на коэффициент при неизвестной. Это основной шаблон для большинства уравнений 7 класса.
Равносильные преобразования уравнения $A = B \Longleftrightarrow A + m = B + m$ Алгебра Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент.
Прямая пропорциональность $y = kx$ Функции и графики Прямая пропорциональность описывает зависимость, при которой одна величина равна другой величине, умноженной на постоянный коэффициент. Ее график проходит через начало координат.
График линейной функции по двум точкам $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\quad y - y_1 = k(x - x_1)$ Функции и графики Если известны две разные точки линейной функции, можно найти угловой коэффициент и построить прямую. Через две различные точки проходит единственная прямая.
Деление одночленов $\frac{a x^m}{b x^n}=\frac{a}{b}x^{m-n},\quad b\ne0,\ x\ne0$ Алгебра Деление одночленов выполняют как деление коэффициентов и вычитание показателей одинаковых буквенных множителей. Это правило продолжает свойства степеней.
Коэффициент пропорциональности $k=\frac{y}{x},\quad x\ne0$ Функции и графики Коэффициент пропорциональности показывает, во сколько раз зависимая величина y отличается от ненулевой величины x в модели y = kx.
Свободный член линейной функции $b=y-kx$ Функции и графики Свободный член b в линейной функции y = kx + b можно найти по известной точке графика и угловому коэффициенту. Она уточняет, какие величины входят в запись b=y-kx и какой результат получают после подстановки.
Уравнение прямой через точку и угловой коэффициент $y-y_1=k(x-x_1)$ Функции и графики Если известны точка прямой и ее угловой коэффициент, уравнение можно записать в виде y - y1 = k(x - x1). Она уточняет, какие величины входят в запись y-y_1=k(x-x_1) и какой результат получают после подстановки.
Сложение многочленов $(a_nx^n+\dots+a_0)+(b_nx^n+\dots+b_0)=(a_n+b_n)x^n+\dots+(a_0+b_0)$ Алгебра При сложении многочленов складывают подобные члены: коэффициенты при одинаковых степенях переменной объединяются. Она уточняет, какие величины входят в запись (a_nx^n+\dots+a_0)+(b_nx^n+\dots+b_0)=(a_n+b_n)x^n+\dots+(a_0+b_0) и какой результат получают после подстановки.
Вычитание многочленов $P(x)-Q(x)=P(x)+(-Q(x))$ Алгебра При вычитании многочлена нужно изменить знаки всех его членов, а затем привести подобные слагаемые. Она уточняет, какие величины входят в запись P(x)-Q(x)=P(x)+(-Q(x)) и какой результат получают после подстановки.
Углы при параллельных прямых и секущей $a\parallel b\Rightarrow \alpha=\beta,\quad \gamma+\delta=180^\circ$ Геометрия При параллельных прямых и секущей накрест лежащие и соответственные углы равны, а односторонние углы в сумме дают 180 градусов.
Признак параллельности прямых по углам $\alpha=\beta\Rightarrow a\parallel b,\quad \gamma+\delta=180^\circ\Rightarrow a\parallel b$ Геометрия Если при пересечении двух прямых секущей равны накрест лежащие или соответственные углы, прямые параллельны; то же верно при сумме односторонних углов 180 градусов.
Неравенство треугольника $a+b>c,\quad a+c>b,\quad b+c>a$ Геометрия В любом треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны. Это условие проверяет, можно ли построить треугольник по трем отрезкам.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника $\alpha+\beta=90^\circ$ Геометрия В прямоугольном треугольнике два острых угла в сумме дают 90 градусов, потому что третий угол уже равен 90 градусам. Она уточняет, какие величины входят в запись \alpha+\beta=90^\circ и какой результат получают после подстановки.
Периметр равнобедренного треугольника $P=2a+b$ Геометрия Периметр равнобедренного треугольника равен удвоенной боковой стороне плюс основание. Формула использует равенство двух боковых сторон. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.
Нулевая степень ненулевого числа $a^0=1,\quad a\ne0$ Алгебра Нулевая степень любого ненулевого числа равна единице. Условие a не равно нулю обязательно: выражение 0^0 в школьной алгебре не считают определенным. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.
Одночлен в стандартном виде $c\,x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_k^{\alpha_k}$ Алгебра Стандартный вид одночлена записывает числовой коэффициент первым, а одинаковые буквенные множители объединяет в степени с натуральными показателями. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.
Коэффициент одночлена $A=c\,x_1^{\alpha_1}\cdots x_k^{\alpha_k}\quad\Rightarrow\quad c\text{ — коэффициент}$ Алгебра Коэффициент одночлена — это числовой множитель в его стандартном виде. Он показывает, во сколько раз взята буквенная часть, включая знак выражения. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.
Угол между биссектрисами смежных углов $\frac{\alpha}{2}+\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ$ Геометрия Биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны. Их угол равен 90 градусам, потому что смежные углы в сумме дают 180 градусов. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.
Линейная функция по коэффициентам k и b $y=kx+b$ Функции и графики Линейная функция y=kx+b задает прямую: коэффициент k отвечает за наклон графика, а b показывает точку пересечения с осью Oy. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.
Точка пересечения двух прямых $k_1x+b_1=k_2x+b_2,\quad x=\frac{b_2-b_1}{k_1-k_2}$ Функции и графики Точку пересечения двух прямых y=k1x+b1 и y=k2x+b2 находят приравниванием правых частей. Абсцисса равна (b2-b1)/(k1-k2), если k1 не равно k2. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.
Первый признак равенства треугольников $AB=A_1B_1,\ AC=A_1C_1,\ \angle A=\angle A_1\Rightarrow \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$ Геометрия Первый признак равенства треугольников утверждает: если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого, треугольники равны.
Второй признак равенства треугольников $AB=A_1B_1,\ \angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1\Rightarrow \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$ Геометрия Второй признак равенства треугольников использует сторону и два прилежащих к ней угла. Такой набор однозначно задает треугольник. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.
Третий признак равенства треугольников $AB=A_1B_1,\ BC=B_1C_1,\ AC=A_1C_1\Rightarrow \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$ Геометрия Третий признак равенства треугольников утверждает: если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, треугольники равны. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.
Значение линейной функции по заданному аргументу $y_0 = kx_0 + b$ Функции и графики Формула позволяет найти значение линейной функции y = kx + b в конкретной точке: вместо x подставляют заданный аргумент x0 и выполняют обычные вычисления. Она связывает з.
Аргумент линейной функции по известному значению $x = \frac{y-b}{k},\quad k \ne 0$ Функции и графики Если значение линейной функции y = kx + b известно, аргумент находят обратным ходом: вычитают свободный член и делят результат на ненулевой коэффициент k. Она связывает з.
Нуль линейной функции y = kx + b $x_0 = -\frac{b}{k},\quad k \ne 0$ Функции и графики Нуль линейной функции - это такое значение аргумента, при котором y становится равным нулю. Для y = kx + b его находят по формуле x0 = -b/k. Она связывает запись функции.
Пересечение линейной функции с осью Oy $x=0,\quad y=b$ Функции и графики График линейной функции y = kx + b пересекает ось Oy в точке с абсциссой 0 и ординатой b. Свободный член сразу показывает высоту этой точки. Она связывает запись функции.
Разность значений линейной функции $y_2-y_1=k(x_2-x_1)$ Функции и графики У линейной функции изменение значения равно коэффициенту k, умноженному на изменение аргумента. Свободный член при вычитании исчезает. Она связывает запись функции или ур.
Биссектриса угла и половина градусной меры $\beta=\frac{\alpha}{2}$ Геометрия Биссектриса делит угол на два равных угла. Если весь угол равен alpha, каждый из получившихся углов равен alpha/2. Она помогает не подменять геометрическое условие видом чертежа и сразу проверять допустимость углов или длин.
Условие параллельности графиков линейных функций $k_1=k_2,\quad b_1\ne b_2$ Функции и графики Графики двух линейных функций y = k1x + b1 и y = k2x + b2 параллельны и не совпадают, если их угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны. Она связывает запись.
Степень числа минус один $(-1)^n=\begin{cases}1, & n\text{ четное},\\-1, & n\text{ нечетное}.\end{cases}$ Алгебра Степень числа -1 зависит от четности показателя: при четном показателе результат равен 1, при нечетном - остается -1. Она показывает, какие части выражения преобразуются, и помогает не терять знаки, степени и ограничения.
Распределительный закон умножения для скобок $a(b+c)=ab+ac$ Алгебра При умножении числа или выражения на сумму множитель умножают на каждое слагаемое. Это основа раскрытия скобок и вынесения общего множителя. Она показывает, какие части в.
Абсцисса точки линейного уравнения с двумя переменными $x=\frac{c-by}{a},\quad a\ne0$ Алгебра Если точка лежит на прямой ax + by = c и известна ее ордината y, абсциссу x находят вычитанием by из c и делением на ненулевой коэффициент a. Она связывает запись функции.