Математика / Алгебра

Умножение многочлена на одночлен

Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить на этот одночлен каждый член многочлена и затем привести подобные слагаемые, если они появились.

Опубликовано: 11 мая 2026 г.Обновлено: 11 мая 2026 г.

Школьная программа ОГЭ Формулы по математике за 7 класс Алгебра Многочлены, разложение на множители Есть историческая справка

Формула

$$a(b + c) = ab + ac$$

Обозначения

$a$: одночлен или общий множитель
b, c: члены многочлена или алгебраические выражения

Условия применения

Одночлен умножается на каждый член внутри скобок.
Знак каждого произведения определяется знаками множителей.
После раскрытия скобок нужно проверить, появились ли подобные слагаемые.

Ограничения

Нельзя умножать одночлен только на первый член скобки.
Нельзя менять знаки без учета отрицательного множителя перед скобкой.
Если внутри скобок больше двух членов, правило распространяется на каждый член.

Подробное объяснение

Умножение многочлена на одночлен основано на распределительном законе. Если сумма b + c умножается на a, то можно отдельно умножить b на a и c на a, а затем сложить результаты. Это сохраняет значение выражения и позволяет избавиться от скобок.

В алгебре это действие используют в двух направлениях. Слева направо оно раскрывает скобки: a(b + c) превращается в ab + ac. Справа налево оно показывает вынесение общего множителя: ab + ac превращается в a(b + c). Поэтому одна и та же формула связывает упрощение выражений и разложение на множители.

Если многочлен содержит три, четыре или больше членов, правило не меняется: одночлен должен быть умножен на каждый член скобки.

В решениях удобно проговаривать каждый промежуточный продукт. Это особенно важно при отрицательном множителе перед скобкой: он меняет знак каждого члена, а не только первого. После раскрытия скобок выражение стоит привести к стандартному виду и проверить, нет ли подобных слагаемых.

Как пользоваться формулой

Определите одночлен перед скобкой.
Умножьте его на первый член многочлена.
Повторите действие для каждого следующего члена.
Примените правила знаков и степеней.
Приведите подобные слагаемые, если они появились.

Историческая справка

Распределительный закон использовался задолго до современной алгебраической символики, но именно буквенная запись сделала его универсальным правилом преобразования выражений. В школьной алгебре он выступает как одно из первых формальных правил, которое показывает, что с буквами можно работать по тем же законам арифметики, если преобразования сохраняют значение выражения. Геометрически это правило можно понимать через площадь прямоугольника, разбитого на части: общая площадь равна сумме площадей частей. Такая модель хорошо объясняет, почему множитель должен попасть к каждому слагаемому внутри скобки. В 7 классе этот переход особенно важен, потому что он связывает числовые вычисления с полноценными алгебраическими преобразованиями.

Историческая линия формулы

Формула не имеет единственного автора. Она является записью распределительного закона умножения относительно сложения. Корректная историческая атрибуция здесь указывает не на персональное открытие, а на постепенное закрепление общего закона арифметики в символической алгебре.

Пример

Раскроем скобки: -3x(2x^2 - 5x + 4). Умножаем -3x на каждый член: -3x * 2x^2 = -6x^3, -3x * (-5x) = 15x^2, -3x * 4 = -12x. Значит, -3x(2x^2 - 5x + 4) = -6x^3 + 15x^2 - 12x. Обратите внимание, что второй член стал положительным, потому что произведение двух отрицательных множителей положительно. Проверим на x = 1: исходное выражение равно -3(2 - 5 + 4) = -3, а раскрытая запись дает -6 + 15 - 12 = -3. Такая подстановка не является доказательством для всех x, но хорошо помогает поймать ошибку со знаком или пропущенным членом.

Частая ошибка

Частая ошибка - раскрыть только первый член: a(b + c) записать как ab + c. Это разрушает равенство. Еще часто теряют минус перед скобкой: -2(x - 3) равно -2x + 6, а не -2x - 6. При буквенных выражениях нужно дополнительно применять правила степеней: x * x^2 = x^3.

Практика

Задачи с решением

Раскрыть скобки

Условие. Раскройте скобки: 4a(3a - 2b + 5).

Решение. Умножаем 4a на каждый член: 4a * 3a = 12a^2, 4a * (-2b) = -8ab, 4a * 5 = 20a.

Ответ. 12a^2 - 8ab + 20a

Найти ошибку со знаком

Условие. Раскройте скобки: -5x(x - 2).

Решение. -5x * x = -5x^2. Далее -5x * (-2) = 10x, потому что минус на минус дает плюс.

Ответ. -5x^2 + 10x

Дополнительные источники

Алгебра 7 класса: разделы об одночленах, многочленах и линейных уравнениях
Кодификатор проверяемых требований ОГЭ по математике: алгебраические выражения, уравнения и системы

Связанные формулы

Математика

Произведение одночленов

$(ax^m)(bx^n) = abx^{m+n}$

Произведение одночленов получают перемножением коэффициентов и сложением показателей степеней у одинаковых оснований. Формула связывает тему одночленов с правилами степеней и используется при умножении многочленов.

Математика

Приведение подобных слагаемых

$ka + ma = (k + m)a$

Приведение подобных слагаемых позволяет заменить сумму однотипных членов одним членом с общим буквенным множителем. Это базовое действие для упрощения выражений, решения линейных уравнений и подготовки многочленов к дальнейшим преобразованиям.

Математика

Вынесение общего множителя за скобки

$ab + ac = a(b + c)$

Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму одночленов с общей частью в произведение. Это первый и самый важный способ разложения многочлена на множители в 7 классе.