Все формулы РФ

Математика

Алгебра

Уравнения, степени, корни, логарифмы, прогрессии и преобразования.

Основное свойство пропорции

В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\quad \Longleftrightarrow \quad ad = bc$

Степень степени

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

$(a^m)^n = a^{mn}$

Приведение подобных слагаемых

Приведение подобных слагаемых позволяет заменить сумму однотипных членов одним членом с общим буквенным множителем. Это базовое действие для упрощения выражений, решения линейных уравнений и подготовки многочленов к дальнейшим преобразованиям.

$ka + ma = (k + m)a$

Произведение одночленов

Произведение одночленов получают перемножением коэффициентов и сложением показателей степеней у одинаковых оснований. Формула связывает тему одночленов с правилами степеней и используется при умножении многочленов.

$(ax^m)(bx^n) = abx^{m+n}$

Степень одночлена

При возведении одночлена в степень коэффициент возводится в эту степень, а показатели степеней у переменных умножаются на показатель внешней степени.

$(ax^m)^n = a^n x^{mn}$

Умножение многочлена на одночлен

Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить на этот одночлен каждый член многочлена и затем привести подобные слагаемые, если они появились.

$a(b + c) = ab + ac$

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем приводят подобные слагаемые.

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Вынесение общего множителя за скобки

Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму одночленов с общей частью в произведение. Это первый и самый важный способ разложения многочлена на множители в 7 классе.

$ab + ac = a(b + c)$

Разложение многочлена группировкой

Разложение группировкой помогает разложить многочлен на множители, если общий множитель виден не сразу во всех членах, но появляется после объединения слагаемых в пары или группы.

$ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y)$

Линейное уравнение с двумя переменными

Линейное уравнение с двумя переменными связывает две неизвестные величины первой степени. Его решениями являются пары чисел, а графиком на координатной плоскости обычно служит прямая.

$ax + by = c$

Линейное уравнение вида ax + b = c

Линейное уравнение вида ax + b = c решается переносом свободного члена и делением на коэффициент при неизвестной. Это основной шаблон для большинства уравнений 7 класса.

$ax + b = c,\quad x = \frac{c - b}{a},\quad a \ne 0$

Равносильные преобразования уравнения

Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент.

$A = B \Longleftrightarrow A + m = B + m$

Арифметический квадратный корень

Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a - это неотрицательное число, квадрат которого равен a; определение помогает отличать значение корня от решений уравнения с квадратом.

$\sqrt{a}=x\quad\Longleftrightarrow\quad x^2=a,\;x\ge 0,\;a\ge 0$

Квадрат арифметического квадратного корня

Квадрат арифметического квадратного корня возвращает подкоренное выражение, если оно неотрицательно; правило нужно для упрощения радикалов и контроля области допустимых значений.

$(\sqrt{a})^2=a,\quad a\ge 0$

Квадратный корень из частного

Квадратный корень из частного равен частному квадратных корней, если числитель неотрицателен, а знаменатель положителен.

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},\quad a\ge 0,\;b>0$

Сложение подобных квадратных корней

Подобные квадратные корни имеют одинаковую подкоренную часть, поэтому складываются их коэффициенты перед корнем; правило помогает упрощать суммы радикалов после вынесения множителей.

$k\sqrt{a}+m\sqrt{a}=(k+m)\sqrt{a},\quad a\ge 0$

Неполное квадратное уравнение x² = a

Уравнение x² = a решается через квадратный корень: при положительном a есть два противоположных корня, при нуле один корень, а при отрицательном a действительных решений нет.

$x^2=a\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{a}\;(a>0),\;x=0\;(a=0)$

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 решается вынесением общего множителя x за скобки; так сразу видны корень x = 0 и корень линейного множителя.

$ax^2+bx=0\quad\Rightarrow\quad x(ax+b)=0$

Корни приведенного квадратного уравнения

Приведенное квадратное уравнение имеет коэффициент 1 при x², поэтому формула корней записывается через p и q и напрямую связывается с теоремой Виета.

$x^2+px+q=0,\quad x_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$

n-й член арифметической прогрессии

n-й член арифметической прогрессии равен первому члену плюс произведение разности прогрессии на n - 1 шагов от начала последовательности.

$a_n=a_1+(n-1)d$

n-й член геометрической прогрессии

n-й член геометрической прогрессии равен первому члену, умноженному на знаменатель прогрессии в степени n - 1, то есть после n - 1 одинаковых умножений.

$b_n=b_1 q^{n-1}$

Квадрат суммы

Квадрат суммы раскрывает квадрат двучлена через квадраты слагаемых и удвоенное произведение.

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Квадрат разности

Квадрат разности раскрывает квадрат двучлена с минусом через квадраты и удвоенное произведение.

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Разность квадратов

Разность квадратов раскладывает выражение a² - b² на произведение суммы и разности.

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$