Все формулы РФ

Математика

Алгебра

Уравнения, степени, корни, логарифмы, прогрессии и преобразования.

81 формула

Формулы темы

Показаны 1-60 из 81. Продолжение находится на соседних страницах темы.

Корни квадратного уравнения

Формула корней квадратного уравнения выражает решения ax^2+bx+c=0 через коэффициенты a, b и дискриминант D, если a не равно нулю.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Корень линейного уравнения ax + b = 0

Корень линейного уравнения ax + b = 0 находят переносом свободного члена в правую часть и делением на ненулевой коэффициент при x.

$x = -\frac{b}{a},\quad a \ne 0$

Основное свойство пропорции

Основное свойство пропорции утверждает: в равенстве двух дробей произведение крайних членов равно произведению средних членов.

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\quad \Longleftrightarrow \quad ad = bc$

Степень произведения

Степень произведения равна произведению степеней всех множителей: каждый множитель внутри скобок возводится в тот же показатель.

$(ab)^n = a^n b^n$

Степень степени

При возведении степени в степень основание сохраняют, а показатели перемножают, потому что число одинаковых множителей повторяется группами.

$(a^m)^n = a^{mn}$

Приведение подобных слагаемых

Приведение подобных слагаемых позволяет заменить сумму однотипных членов одним членом с общим буквенным множителем. Это базовое действие для упрощения выражений, решения линейных уравнений и подготовки многочленов к дальнейшим преобразованиям.

$ka + ma = (k + m)a$

Произведение одночленов

Произведение одночленов получают перемножением коэффициентов и сложением показателей степеней у одинаковых оснований. Формула связывает тему одночленов с правилами степеней и используется при умножении многочленов.

$(ax^m)(bx^n) = abx^{m+n}$

Степень одночлена

При возведении одночлена в степень коэффициент возводится в эту степень, а показатели степеней у переменных умножаются на показатель внешней степени.

$(ax^m)^n = a^n x^{mn}$

Умножение многочлена на одночлен

Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить на этот одночлен каждый член многочлена и затем привести подобные слагаемые, если они появились.

$a(b + c) = ab + ac$

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем приводят подобные слагаемые.

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Вынесение общего множителя за скобки

Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму одночленов с общей частью в произведение. Это первый и самый важный способ разложения многочлена на множители в 7 классе.

$ab + ac = a(b + c)$

Разложение многочлена группировкой

Разложение группировкой помогает разложить многочлен на множители, если общий множитель виден не сразу во всех членах, но появляется после объединения слагаемых в пары или группы.

$ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y)$

Линейное уравнение с двумя переменными

Линейное уравнение с двумя переменными связывает две неизвестные величины первой степени. Его решениями являются пары чисел, а графиком на координатной плоскости обычно служит прямая.

$ax + by = c$

Линейное уравнение вида ax + b = c

Линейное уравнение вида ax + b = c решается переносом свободного члена и делением на коэффициент при неизвестной. Это основной шаблон для большинства уравнений 7 класса.

$ax + b = c,\quad x = \frac{c - b}{a},\quad a \ne 0$

Равносильные преобразования уравнения

Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент.

$A = B \Longleftrightarrow A + m = B + m$

Деление одночленов

Деление одночленов выполняют как деление коэффициентов и вычитание показателей одинаковых буквенных множителей. Это правило продолжает свойства степеней.

$\frac{a x^m}{b x^n}=\frac{a}{b}x^{m-n},\quad b\ne0,\ x\ne0$

Сложение многочленов

При сложении многочленов складывают подобные члены: коэффициенты при одинаковых степенях переменной объединяются. Она уточняет, какие величины входят в запись (a_nx^n+\dots+a_0)+(b_nx^n+\dots+b_0)=(a_n+b_n)x^n+\dots+(a_0+b_0) и какой результат получают после подстановки.

$(a_nx^n+\dots+a_0)+(b_nx^n+\dots+b_0)=(a_n+b_n)x^n+\dots+(a_0+b_0)$

Вычитание многочленов

При вычитании многочлена нужно изменить знаки всех его членов, а затем привести подобные слагаемые. Она уточняет, какие величины входят в запись P(x)-Q(x)=P(x)+(-Q(x)) и какой результат получают после подстановки.

$P(x)-Q(x)=P(x)+(-Q(x))$

Нулевая степень ненулевого числа

Нулевая степень любого ненулевого числа равна единице. Условие a не равно нулю обязательно: выражение 0^0 в школьной алгебре не считают определенным. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.

$a^0=1,\quad a\ne0$

Одночлен в стандартном виде

Стандартный вид одночлена записывает числовой коэффициент первым, а одинаковые буквенные множители объединяет в степени с натуральными показателями. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.

$c\,x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_k^{\alpha_k}$

Коэффициент одночлена

Коэффициент одночлена — это числовой множитель в его стандартном виде. Он показывает, во сколько раз взята буквенная часть, включая знак выражения. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.

$A=c\,x_1^{\alpha_1}\cdots x_k^{\alpha_k}\quad\Rightarrow\quad c\text{ — коэффициент}$

Степень числа минус один

Степень числа -1 зависит от четности показателя: при четном показателе результат равен 1, при нечетном - остается -1. Она показывает, какие части выражения преобразуются, и помогает не терять знаки, степени и ограничения.

$(-1)^n=\begin{cases}1, & n\text{ четное},\\-1, & n\text{ нечетное}.\end{cases}$

Произведение множителей вида x + a и x + b

Произведение двух линейных множителей с одинаковым первым членом раскрывается в квадратный трехчлен: коэффициент при x равен сумме a и b, свободный член - их произведению.

$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

Ордината точки линейного уравнения с двумя переменными

Если точка удовлетворяет уравнению ax + by = c и известна ее абсцисса x, ординату y находят по формуле y = (c - ax)/b. Она связывает запись функции или уравнения с координатами точки и помогает проверить результат обратной подстановкой.

$y=\frac{c-ax}{b},\quad b\ne0$

Коэффициент произведения одночленов

При умножении одночленов числовые коэффициенты перемножаются отдельно, а буквенные множители объединяются по правилам степеней. Она показывает, какие части выражения преобразуются, и помогает не терять знаки, степени и ограничения.

$(c_1M_1)(c_2M_2)=c_1c_2\,M_1M_2$

Степень нуля с натуральным показателем

Ноль в любой натуральной степени равен нулю, потому что произведение содержит хотя бы один нулевой множитель. Она показывает, какие части выражения преобразуются, и помогает не терять знаки, степени и ограничения.

$0^n=0,\quad n\in\mathbb{N}$

Степень частного двух выражений

Степень частного показывает, что при возведении дроби в натуральную степень отдельно возводят в эту степень числитель и знаменатель. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование.

$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n},\quad b\ne0$

Квадрат суммы двух выражений

Квадрат суммы равен квадрату первого выражения, удвоенному произведению выражений и квадрату второго выражения. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

Квадрат разности двух выражений

Квадрат разности равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение выражений плюс квадрат второго выражения. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование.

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Разность квадратов двух выражений

Разность квадратов раскладывается в произведение разности выражений и их суммы. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование.

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

Куб суммы двух выражений

Куб суммы раскрывается в четыре слагаемых: куб первого выражения, два смешанных члена с коэффициентом 3 и куб второго выражения. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование.

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Куб разности двух выражений

Куб разности раскрывается в четыре слагаемых с чередующимися знаками: плюс, минус, плюс, минус. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование.

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

Сумма кубов двух выражений

Сумма кубов раскладывается на сумму оснований и неполный квадрат разности этих оснований. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование.

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Разность кубов двух выражений

Разность кубов раскладывается на разность оснований и неполный квадрат суммы этих оснований. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование.

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Координата середины отрезка на прямой

Координата середины отрезка на координатной прямой равна среднему арифметическому координат его концов. Она фиксирует, какую геометрическую величину надо считать и какие данные складывать или усреднять.

$x_{\text{серед}}=\frac{x_1+x_2}{2}$

Арифметический квадратный корень

Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a - это неотрицательное число, квадрат которого равен a; определение помогает отличать значение корня от решений уравнения с квадратом.

$\sqrt{a}=x\quad\Longleftrightarrow\quad x^2=a,\;x\ge 0,\;a\ge 0$

Квадрат арифметического квадратного корня

Квадрат арифметического квадратного корня возвращает подкоренное выражение, если оно неотрицательно; правило нужно для упрощения радикалов и контроля области допустимых значений.

$(\sqrt{a})^2=a,\quad a\ge 0$

Квадратный корень из частного

Квадратный корень из частного равен частному квадратных корней, если числитель неотрицателен, а знаменатель положителен.

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},\quad a\ge 0,\;b>0$

Сложение подобных квадратных корней

Подобные квадратные корни имеют одинаковую подкоренную часть, поэтому складываются их коэффициенты перед корнем; правило помогает упрощать суммы радикалов после вынесения множителей.

$k\sqrt{a}+m\sqrt{a}=(k+m)\sqrt{a},\quad a\ge 0$

Неполное квадратное уравнение x² = a

Уравнение x² = a решается через квадратный корень: при положительном a есть два противоположных корня, при нуле один корень, а при отрицательном a действительных решений нет.

$x^2=a\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{a}\;(a>0),\;x=0\;(a=0)$

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 решается вынесением общего множителя x за скобки; так сразу видны корень x = 0 и корень линейного множителя.

$ax^2+bx=0\quad\Rightarrow\quad x(ax+b)=0$

Корни приведенного квадратного уравнения

Приведенное квадратное уравнение имеет коэффициент 1 при x², поэтому формула корней записывается через p и q и напрямую связывается с теоремой Виета.

$x^2+px+q=0,\quad x_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$

n-й член арифметической прогрессии

n-й член арифметической прогрессии равен первому члену плюс произведение разности прогрессии на n - 1 шагов от начала последовательности.

$a_n=a_1+(n-1)d$

n-й член геометрической прогрессии

n-й член геометрической прогрессии равен первому члену, умноженному на знаменатель прогрессии в степени n - 1, то есть после n - 1 одинаковых умножений.

$b_n=b_1 q^{n-1}$

Теорема Виета для квадратного уравнения

Теорема Виета выражает сумму и произведение корней квадратного уравнения через его коэффициенты без отдельного вычисления каждого корня.

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\quad x_1x_2 = \frac{c}{a}$

Квадрат суммы

Квадрат суммы раскрывается как квадрат первого выражения плюс удвоенное произведение выражений плюс квадрат второго выражения.

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Квадрат разности

Квадрат разности раскрывается как квадрат первого выражения, минус удвоенное произведение выражений, плюс квадрат второго выражения.

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$