Все формулы РФ

Математика / Алгебра

Сложение подобных квадратных корней

Подобные квадратные корни имеют одинаковую подкоренную часть, поэтому складываются их коэффициенты перед корнем; правило помогает упрощать суммы радикалов после вынесения множителей.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭФормулы по математике за 8 классАлгебраКвадратные корни, свойства корнейМногочлены, разложение на множителиЕсть историческая справка

Формула

$$k\sqrt{a}+m\sqrt{a}=(k+m)\sqrt{a},\quad a\ge 0$$
Алгебраическая аналогия Корень как одинаковая буквенная часть

Показана пара записей: 5x + 2x = 7x и 5\sqrt{2}+2\sqrt{2}=7\sqrt{2}.

Складываются коэффициенты, а одинаковая корневая часть сохраняется.

Обозначения

k, m
числовые или буквенные коэффициенты перед одинаковым корнем
$a$
общая неотрицательная подкоренная часть
$\sqrt{a}$
одинаковый радикал в подобных слагаемых

Условия применения

  • Подкоренная часть у слагаемых должна быть одинаковой после возможного упрощения.
  • Подкоренное выражение a должно быть неотрицательным.
  • Перед сложением полезно вынести квадратные множители из-под корня.

Ограничения

  • Нельзя складывать корни с разными подкоренными выражениями как один корень.
  • \sqrt{a}+\sqrt{b} не равно \sqrt{a+b} в общем случае.
  • Если корни можно сначала упростить, подобие может стать видно только после преобразования.

Подробное объяснение

Подобные корни работают по той же логике, что и подобные слагаемые в алгебре. Если есть несколько одинаковых величин \sqrt{a}, то складываются только их количества. Сам корень остается без изменения.

Например, 3\sqrt{7} означает три одинаковые величины \sqrt{7}, а 4\sqrt{7} означает четыре такие же величины. Вместе получается семь величин \sqrt{7}, то есть 7\sqrt{7}.

Главная сложность в том, что похожесть корней может быть скрыта. Выражения \sqrt{12} и \sqrt{27} выглядят разными, но после вынесения множителей получаются 2\sqrt{3} и 3\sqrt{3}. Теперь их можно сложить.

Это правило не объединяет разные радикалы. Сумма \sqrt{2}+\sqrt{3} обычно остается как есть. Попытка записать ее одним корнем нарушает свойства арифметического квадратного корня и приводит к неверным числам.

Практически это правило удобно применять в два этапа: сначала упростить каждый радикал отдельно, затем сравнить подкоренные части. Если они совпали, складываются коэффициенты; если нет, выражение оставляют суммой.

Как пользоваться формулой

  1. Упростите каждый корень, вынеся квадратные множители.
  2. Сравните подкоренные части.
  3. Сложите или вычтите коэффициенты только у одинаковых корней.
  4. Оставьте неподобные корни отдельными слагаемыми.
  5. Проверьте результат обратной подстановкой или приближенной оценкой.

Историческая справка

Сложение подобных радикалов стало естественным продолжением алгебраической символики. Когда корни начали записывать компактными знаками, стало удобно обращаться с ними как с алгебраическими объектами: одинаковые радикалы можно было собирать подобно одинаковым буквенным частям. В учебниках алгебры нового времени радикалы постепенно вошли в тот же язык преобразований, что и многочлены, дроби и степени. В школьной алгебре это правило показывает преемственность тем: навыки приведения подобных слагаемых из 7 класса продолжают работать в 8 классе, только роль буквенной части иногда играет квадратный корень. Поэтому тема связывает арифметику корней с уже знакомой техникой алгебраических выражений.

Историческая линия формулы

У правила сложения подобных корней нет одного автора. Оно следует из распределительного закона и из развития алгебраической записи радикалов как выражений, с которыми можно выполнять обычные преобразования; исторически это часть общей техники упрощения выражений.

Пример

Упростим \sqrt{50}+\sqrt{8}. Даны два радикала, и сначала нужно проверить, можно ли сделать их подобными. Вынесем множители: \sqrt{50}=\sqrt{25*2}=5\sqrt{2}, а \sqrt{8}=\sqrt{4*2}=2\sqrt{2}. Теперь корни подобные, потому что подкоренная часть одинаковая: 5\sqrt{2}+2\sqrt{2}=7\sqrt{2}. Проверка: оба слагаемых выражены через одну и ту же величину \sqrt{2}, поэтому складываются только коэффициенты 5 и 2. Если бы выражение было \sqrt{3}+\sqrt{5}, сложить их в один корень нельзя. Такая сумма может оставаться точным ответом, потому что подкоренные части разные.

Частая ошибка

Частая ошибка — писать \sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}. Проверка числами показывает ошибку: примерно 1,41+1,73=3,14, а \sqrt{5} примерно 2,24. Вторая ошибка — не упрощать корни перед сложением и не замечать подобные части. Третья ошибка — складывать подкоренные выражения вместо коэффициентов. Работать нужно так же, как с подобными слагаемыми: 5x+2x=7x, значит 5\sqrt{2}+2\sqrt{2}=7\sqrt{2}.

Практика

Задачи с решением

Сложить подобные корни

Условие. Упростите 4\sqrt{5}+7\sqrt{5}.

Решение. Подкоренная часть одинаковая, складываем коэффициенты: (4+7)\sqrt{5}=11\sqrt{5}.

Ответ. 11\sqrt{5}

Сначала вынести множитель

Условие. Упростите \sqrt{18}+\sqrt{50}.

Решение. \sqrt{18}=3\sqrt{2}, \sqrt{50}=5\sqrt{2}. Сумма равна 8\sqrt{2}.

Ответ. 8\sqrt{2}

Дополнительные источники

  • Алгебра 8 класса: действия с квадратными корнями
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, раздел Add and Subtract Radical Expressions

Связанные формулы

Математика

Арифметический квадратный корень

$\sqrt{a}=x\quad\Longleftrightarrow\quad x^2=a,\;x\ge 0,\;a\ge 0$

Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a - это неотрицательное число, квадрат которого равен a; определение помогает отличать значение корня от решений уравнения с квадратом.