Математический анализ: правила дифференцирования

Правила дифференцирования

Формулы для вычисления производных сумм, разностей, произведений, частных, композиций, обратных, неявных и параметрических функций.

10 формул

Таблица формул

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Правило суммы производных	$\frac{d}{dx}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=f'(x)+g'(x)$	Пределы, ряды	Правило суммы говорит, что производную суммы можно находить по частям: отдельно продифференцировать каждое слагаемое и затем сложить результаты.
Правило разности производных	$\frac{d}{dx}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=f'(x)-g'(x)$	Пределы, ряды	Правило разности позволяет находить производную выражения с минусом по частям: производная разности равна разности производных.
Правило постоянного множителя в производной	$\frac{d}{dx}\bigl(c f(x)\bigr)=c f'(x)$	Пределы, ряды	Постоянный множитель можно вынести за знак производной: коэффициент перед функцией сохраняется и умножает производную этой функции.
Правило произведения производных	$\frac{d}{dx}\bigl(f(x)g(x)\bigr)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$	Пределы, ряды	Производная произведения состоит из двух вкладов: сначала меняется первый множитель при фиксированном втором, затем второй при фиксированном первом.
Правило частного производных	$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$	Пределы, ряды	Производная частного равна разности двух вкладов в числителе, деленной на квадрат знаменателя: меняется числитель и меняется знаменатель.
Правило сложной функции	$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$	Пределы, ряды	Правило сложной функции, или правило цепочки, говорит: производная внешней функции берется в внутреннем выражении и умножается на производную внутренней функции.
Производная обратной функции	$(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)},\quad y_0=f(x_0),\ f'(x_0)\ne 0$	Пределы, ряды	Производная обратной функции равна обратной величине производной исходной функции в соответствующей точке, если исходная производная не равна нулю.
Производная неявной функции	$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)},\quad F_y(x,y)\ne 0$	Пределы, ряды	Если связь между x и y задана уравнением F(x,y)=0, производную y по x можно найти через частные производные F_x и F_y без явного решения уравнения.
Производная параметрической кривой через параметр	$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt},\quad \frac{dx}{dt}\ne 0$	Пределы, ряды	Если кривая задана параметром t, ее наклон в координатах x-y равен отношению скорости изменения y к скорости изменения x.
Частные производные функции двух переменных	$f_x(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h},\quad f_y(a,b)=\lim_{k\to0}\frac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k}$	Пределы, ряды	Частная производная показывает скорость изменения функции по одной переменной при фиксированной второй переменной, то есть локальный наклон сечения поверхности.