Все формулы РФ

Математика / Пределы, ряды

Производная обратной функции

Производная обратной функции равна обратной величине производной исходной функции в соответствующей точке, если исходная производная не равна нулю.

Опубликовано: Обновлено:

Математический анализПроизводныеДифференциальное исчислениеПравила дифференцирования

Формула

$$(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)},\quad y_0=f(x_0),\ f'(x_0)\ne 0$$
inverse-function-derivative Наклоны обратных графиков

Графики f и f^{-1}, отраженные относительно y=x, хорошо показывают взаимно обратные наклоны касательных.

У обратной функции наклон является обратным к исходному.

Обозначения

$f(x)$
исходная функция, единицы y
$f^{-1}(y)$
обратная функция, единицы x
$x_0$
точка исходной функции, единицы x
$y_0$
значение f(x_0), единицы y

Условия применения

  • Функция должна быть локально обратимой около x_0, обычно за счет монотонности на подходящем интервале.
  • Производная f'(x_0) должна существовать и быть ненулевой.
  • Точка y_0 должна принадлежать области определения обратной функции.

Ограничения

  • Если f'(x_0)=0, формула не применяется: у обратной функции может быть вертикальная касательная или производная может не существовать.
  • Глобальная обратимость не всегда нужна, но нужно выбрать ветвь функции, на которой обратная определена однозначно.
  • При работе с тригонометрическими обратными функциями важно фиксировать стандартные интервалы ветвей.

Подробное объяснение

Если функция f переводит малое изменение dx в изменение dy примерно равное f'(x_0)dx, то обратная функция переводит то же изменение dy обратно в dx. Поэтому локальный коэффициент обратного перехода должен быть обратным числом к f'(x_0). Строго это следует из правила цепочки: f^{-1}(f(x))=x. Дифференцируя обе части, получаем (f^{-1})'(f(x))·f'(x)=1, откуда и появляется формула. Она показывает важную геометрическую связь: графики взаимно обратных функций зеркальны относительно прямой y=x, а их наклоны в соответствующих точках являются взаимно обратными. Формула широко применяется не только для известных обратных функций, но и в задачах, где обратную зависимость нельзя удобно выразить. Если экспериментальная калибровка задает y=f(x), производная обратной функции показывает чувствительность восстановленного x к малому изменению измеренного y. Условие f'(x_0) не равно нулю здесь не техническая мелочь. Если исходный график в точке слишком горизонтален, отраженный график обратной функции становится слишком крутым, и обычная конечная производная может исчезнуть. Поэтому формула одновременно дает способ вычисления и предупреждает о возможной особой точке.

Как пользоваться формулой

  1. Найдите точку x_0 исходной функции и вычислите y_0=f(x_0).
  2. Проверьте локальную обратимость функции около x_0.
  3. Найдите f'(x_0) и убедитесь, что это число не равно нулю.
  4. Запишите производную обратной функции как 1/f'(x_0).
  5. Если нужна формула через y, выразите x_0 через y с помощью обратной связи.

Историческая справка

Идея производной обратной функции стала естественным следствием развития анализа функций и правила цепочки. В раннем исчислении обратные зависимости часто появлялись в геометрии и механике, но современная компактная формула опирается на более зрелое понимание композиции функций, локальной обратимости и ненулевой производной. В XIX веке, когда анализ стал строже работать с пределами и функциями, условия обратимости и дифференцируемости получили более ясную формулировку. Позднее эта формула стала стандартным способом выводить производные обратных тригонометрических функций и логарифма, а также частным случаем более общей теоремы об обратной функции.

Историческая линия формулы

Формула не является открытием одного автора. Ее историческая линия связана с правилом цепочки из лейбницевой традиции и с более строгой теорией функций XIX века, где условия локальной обратимости стали формулироваться явно.

Готфрид Вильгельм Лейбниц 1646-1716Огюстен Луи Коши 1789-1857

Пример

Для f(x)=x^3 обратная функция равна f^{-1}(y)=cuberoot(y). Возьмем x_0=2, тогда y_0=8. Производная исходной функции f'(x)=3x^2, значит f'(2)=12. По формуле производная обратной функции в точке y=8 равна 1/12. Если проверить напрямую, производная y^{1/3} равна 1/(3y^{2/3}); при y=8 получаем 1/(3·4)=1/12. Формула особенно удобна, когда явная запись обратной функции сложна или громоздка. Для f(x)=x+e^x явной простой формулы обратной функции нет, но если x_0=0, то y_0=1 и f'(0)=2. Поэтому производная обратной функции в точке y=1 равна 1/2. Это показывает практическую ценность формулы: обратную функцию не обязательно выписывать явно.

Частая ошибка

Частая ошибка - подставить в f' значение y_0 вместо x_0. В формуле знаменатель равен f'(x_0), где x_0 - исходная точка, для которой y_0=f(x_0). Вторая ошибка - игнорировать условие f'(x_0) != 0. Например, для f(x)=x^3 в точке x_0=0 производная исходной функции равна нулю, и обратная функция cuberoot(y) имеет бесконечный наклон в нуле. Также нельзя забывать выбор ветви для функций вроде x^2.

Практика

Задачи с решением

Обратная к кубу

Условие. Для f(x)=x^3 найдите (f^{-1})'(8).

Решение. Значению y=8 соответствует x=2. f'(x)=3x^2, f'(2)=12. Значит (f^{-1})'(8)=1/12.

Ответ. 1/12

Обратная к экспоненте

Условие. Используя формулу обратной функции, найдите производную ln y.

Решение. Исходная функция f(x)=e^x, обратная ln y. Если y=e^x, то f'(x)=e^x=y. Поэтому (ln y)'=1/y.

Ответ. 1/y

Дополнительные источники

  • OpenStax Calculus Volume 1, 3.3 Differentiation Rules
  • MIT OpenCourseWare 18.01 Single Variable Calculus, differentiation rules
  • Tom M. Apostol, Calculus, Vol. 1, chapters on differentiation

Связанные формулы

Математика

Правило сложной функции

$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Правило сложной функции, или правило цепочки, говорит: производная внешней функции берется в внутреннем выражении и умножается на производную внутренней функции.

Математика

Производная ln x

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$

Производная натурального логарифма равна обратной величине аргумента. Ограничение x>0 в действительном анализе здесь так же важно, как сама формула.

Математика

Геометрический смысл производной

$f'(x_0)=k_{\text{кас}}=\tan\alpha$

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной и связывает анализ с наклоном графика. Поэтому одна и та же величина одновременно читается как скорость изменения и как наклон графика.

Математика

Касательная к графику функции

$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

Уравнение касательной строится по точке касания и производной в этой точке. Это первая локальная модель функции и основной мост к линейным приближениям.

Математика

Правило частного производных

$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$

Производная частного равна разности двух вкладов в числителе, деленной на квадрат знаменателя: меняется числитель и меняется знаменатель.