Математика / Пределы, ряды

Производная ln x

Производная натурального логарифма равна обратной величине аргумента. Ограничение x>0 в действительном анализе здесь так же важно, как сама формула.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}

logarithm-slope Логарифм и убывающий наклон

График ln x на положительной полуоси имеет большой наклон около нуля и все более пологий ход при росте x.

Производная ln x равна 1/x только при x>0 в действительном анализе.

Обозначения

$x$: аргумент натурального логарифма, единицы аргумента
$\ln x$: натуральный логарифм, безразмерно
$\frac{1}{x}$: производная логарифма, 1 / единицы аргумента

Условия применения

В реальном анализе нужно x>0, потому что ln x определен только на положительных x.
Если рассматривается ln|x|, область определения расширяется до x\neq 0, но это уже другая формула.
Для ln(u(x)) нужно отдельно умножить на u'(x).

Ограничения

Формула не работает при x\le 0 в обычной действительной постановке.
При сложном аргументе нельзя забывать chain rule.
В задачах на оценку важно помнить, что 1/x быстро меняется около нуля.

Подробное объяснение

Натуральный логарифм - обратная функция к экспоненте, поэтому его производная естественно получается обратной по отношению к x. Эта формула особенно важна в задачах, где удобнее сначала взять логарифм, а потом дифференцировать уже упрощенное выражение. Так работает логарифмическое дифференцирование и многие модели роста. Производная натурального логарифма равна 1/x на положительной полуоси. Один путь вывода использует обратность exp и ln: если y=ln x, то x=e^y. Дифференцируя неявно, получаем 1=e^y*y', а поскольку e^y=x, выходит y'=1/x. Другой путь использует предел ln(1+h)/h -> 1. В любом случае натуральный логарифм выделяется тем, что согласован с основанием e и дает простую производную. Ограничение x>0 важно в действительном курсе: ln x не определен для неположительных x. В формулах с ln|x| область меняется, но точка x=0 все равно исключается. При дифференцировании сложного логарифма ln u(x) результат равен u'(x)/u(x), если u(x)>0 в рассматриваемой области. Поэтому эта формула часто используется не только сама по себе, но и как основа логарифмического дифференцирования, оценки относительных изменений и работы с произведениями.

Как пользоваться формулой

Проверьте, что x>0 или что область определения расширена отдельно.
Замените производную ln x на 1/x.
Если логарифм составной, умножьте на производную внутренней функции.
Проверьте результат в удобной точке, например x=e.

Историческая справка

Логарифм занял центральное место в анализе как обратная функция к экспоненте и как удобный инструмент для работы с произведениями и степенями. В классической традиции он тесно связан с эйлеровской символикой и с последующей строгой теорией функций. Логарифмы появились как вычислительный инструмент задолго до современного анализа: они упрощали умножение, деление и степенные операции. Натуральный логарифм стал центральным после того, как выяснилась его связь с площадью под гиперболой 1/x, экспонентой и непрерывным ростом. В дифференциальном исчислении формула (ln x)'=1/x показывает, что логарифм является первообразной функции 1/x и обратной функцией к e^x. Эйлер и последующая традиция анализа закрепили современную связь exp и ln, а строгие курсы XIX века дали предельные доказательства и ясные условия области определения.

Историческая линия формулы

Формула производной ln x стала стандартной частью классического анализа; ее учебное оформление связано с Лейбницем, Эйлером и строгим изложением XIX века. Формула имеет длинную историческую линию: от таблиц логарифмов и гиперболических площадей до экспоненты и строгого анализа. Ее не следует приписывать одному человеку; полезнее объяснять связь логарифмов, числа e, обратных функций и пределов.

Готфрид Вильгельм Лейбниц 1646-1716 Огюстен Луи Коши 1789-1857

Пример

Если f(x)=\ln x, то f'(x)=1/x. В точке x=e получаем f'(e)=1/e. Значит, чем больше x, тем медленнее растет логарифм. Для f(x)=ln x в точке x=2 производная равна 1/2. Значит, при малом увеличении x на 0,1 логарифм увеличится примерно на 0,05. Точное значение ln(2,1)-ln 2 примерно 0,0488, что близко к линейной оценке. Для функции ln(3x+1) производная равна 3/(3x+1), потому что применяется правило цепочки. Если выражение записано как ln|x|, то при x не равном нулю производная также равна 1/x, но это уже другая область определения и другой исходный объект.

Частая ошибка

Часто забывают область определения и пытаются подставить x=0. Еще одна ошибка - писать производную как ln x / x, хотя верный результат гораздо проще. В составных выражениях легко потерять множитель из внутренней производной. Основная ошибка - забывать область определения и подставлять x<=0 в ln x. Вторая ошибка - писать производную ln(u) как 1/u без множителя u'. Еще иногда путают натуральный логарифм с десятичным: производная log_{10} x равна 1/(x ln 10), а не 1/x.

Практика

Задачи с решением

Продифференцировать логарифм

Условие. Найдите производную функции f(x)=\ln x.

Решение. По формуле f'(x)=1/x. Нужно отдельно указать область x>0 и при сложном аргументе заменить 1/x на u'(x)/u(x).

Ответ. 1/x

Найти производную в точке e

Условие. Чему равна производная функции f(x)=\ln x в точке x_0=e?

Решение. f'(e)=1/e. Нужно отдельно указать область x>0 и при сложном аргументе заменить 1/x на u'(x)/u(x).

Ответ. 1/e

Дополнительные источники

OpenStax Calculus Volume 1, logarithmic functions and derivatives
MIT OpenCourseWare, Single Variable Calculus, derivative of the natural logarithm
Thomas' Calculus, logarithmic differentiation
Cauchy, Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique, 1821
Tom M. Apostol, Calculus, Vol. 1, chapters on limits and derivatives

Связанные формулы

Математика

Производная e^x

$\frac{d}{dx}e^x=e^x$

Экспонента с основанием e является собственной производной: ее темп роста совпадает с ее значением. Это свойство делает экспоненту естественной моделью процессов, где скорость пропорциональна текущему значению.

Математика

Стандартный предел, связанный с числом e

$\lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x}=e$

Этот предел дает одно из самых известных определений числа e. Он появляется в задачах о росте, сложных процентах, экспоненциальных моделях и анализе малых приращений.

Математика

Производная степени x^n

$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$

Производная степени получается умножением на показатель и уменьшением степени на единицу. Правило степени связывает алгебру многочленов с локальной скоростью изменения функции.

Математика

Производная через предел разностного отношения

$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Производная в точке задается пределом разностного отношения и описывает мгновенную скорость изменения функции. Без этой предельной записи производная превращается в набор правил, а не в проверяемое понятие.