Математический анализ: таблицы

Базовая таблица производных

Производные постоянной, степенной, тригонометрических, экспоненциальной и логарифмической функций.

22 формулы

Таблица формул

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Производная постоянной	$\frac{d}{dx}C=0$	Пределы, ряды	Постоянная не меняется при изменении аргумента, поэтому ее производная равна нулю. Это простейшая строка таблицы производных и важная проверка того, от какой переменной зависит выражение.
Производная степени x^n	$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$	Пределы, ряды	Производная степени получается умножением на показатель и уменьшением степени на единицу. Правило степени связывает алгебру многочленов с локальной скоростью изменения функции.
Производная sin x	$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$	Пределы, ряды	Производная синуса равна косинусу, если аргумент измеряется в радианах. Радианная мера здесь не техническая мелочь, а условие, без которого формула меняет коэффициент.
Производная cos x	$\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$	Пределы, ряды	Производная косинуса равна минус синусу и отражает фазовый сдвиг тригонометрической пары. Знак минус отражает то, что около нуля косинус начинает убывать при движении вправо от максимума.
Производная e^x	$\frac{d}{dx}e^x=e^x$	Пределы, ряды	Экспонента с основанием e является собственной производной: ее темп роста совпадает с ее значением. Это свойство делает экспоненту естественной моделью процессов, где скорость пропорциональна текущему значению.
Производная ln x	$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$	Пределы, ряды	Производная натурального логарифма равна обратной величине аргумента. Ограничение x>0 в действительном анализе здесь так же важно, как сама формула.
Возрастание и убывание через знак производной	$f'(x)>0\Rightarrow f \text{ возрастает},\qquad f'(x)<0\Rightarrow f \text{ убывает}$	Пределы, ряды	Знак первой производной переводит локальный наклон в глобальный вывод о монотонности. По нему удобно строить интервалы возрастания и убывания, не перебирая значения функции вручную на каждом отрезке.
Критические точки функции	$x_c:\ f'(x_c)=0\ \text{или}\ f'(x_c)\text{ не существует}$	Пределы, ряды	Критические точки - это кандидаты на экстремумы, перегибы и другие заметные особенности графика. Они возникают там, где производная обнуляется или вообще не определена, поэтому именно с них удобно начинать исследование функции.
Необходимое условие экстремума	$f'(x_0)=0\quad \text{если }x_0\text{ - внутренняя точка экстремума и }f\text{ дифференцируема в }x_0$	Пределы, ряды	Если функция имеет внутренний экстремум и в этой точке дифференцируема, ее производная обязана быть нулем. Это необходимое, но не достаточное условие, поэтому оно помогает отсеять лишние точки перед более точной проверкой.
Достаточный признак экстремума по смене знака производной	$f'(x):\ +\to-\Rightarrow \text{локальный максимум},\qquad f'(x):\ -\to+\Rightarrow \text{локальный минимум}$	Пределы, ряды	Смена знака первой производной дает уже достаточный вывод об экстремуме. Если функция переходит от роста к убыванию, возникает максимум; если от убывания к росту, получается минимум.
Вторая производная как мера изменения наклона	$f''(x)=\frac{d}{dx}f'(x)=\frac{d^2f}{dx^2}$	Пределы, ряды	Вторая производная показывает, как меняется сам наклон графика. Она связывает первую производную с кривизной поведения функции и подсказывает, ускоряется ли рост наклона или, наоборот, он выравнивается.
Выпуклость и вогнутость графика	$f''(x)>0\Rightarrow \text{график выпукл вверх},\qquad f''(x)<0\Rightarrow \text{график выпукл вниз}$	Пределы, ряды	Знак второй производной описывает, как изгибается график: вверх или вниз. Это помогает понять форму кривой глубже, чем один только знак первой производной, потому что уже речь идет не о движении, а о характере изгиба.
Точка перегиба	$x_0\text{ - точка перегиба}\iff f''(x)\text{ меняет знак в }x_0$	Пределы, ряды	Точка перегиба - это место, где график меняет выпуклость. Для надежного вывода нужно не только заметить ноль второй производной, но и проверить смену ее знака по обе стороны точки.
Схема исследования функции	$D(f)\to f'(x)\to \text{знак }f'\to f''(x)\to \text{знак }f''\to \text{вывод о графике}$	Пределы, ряды	Полная схема исследования функции объединяет область определения, производные, знаки, экстремумы, выпуклость и перегиб. Это рабочий алгоритм, который превращает сложную кривую в последовательность понятных проверок.
Обозначение неопределённого интеграла	$\int f(x) \,dx = F(x)+C$	Пределы, ряды	Неопределённый интеграл — это запись класса всех первообразных функции f(x). В отличие от определённого интеграла, здесь не стоит предел интегрирования, и результат всегда даёт семейство функций, отличающихся константой. Запись $\int f(x)dx$ является краткой формой для «все функции F, у которых производная равна f». Такая форма сохраняет единый смысл в вычислениях и упрощает использование правил интегрирования.
Линейность неопределенного интеграла	$\int (\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx = \alpha\int f(x)\,dx + \beta\int g(x)\,dx$	Пределы, ряды	Линейность позволяет переносить константы и разносить сумму под интегральным знаком. Это одно из базовых правил вычисления неопределенных интегралов, напрямую вытекающее из линейности производной в обратную сторону. Если интеграл от суммы разложить на сумму интегралов, заметно упрощается вычисление и сводятся сложные выражения к базовым формам.
Правило интегрирования степени	`\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\; n\neq -1`	Пределы, ряды	Это базовая формула для степенных функций, обратная производной степени x^{n+1}. Важное условие: показатель n не равен −1, иначе интеграл сводится к $\ln\|x\|$. Формула ускоряет интегрирование многочленов и большинства рациональных выражений после разложения.
Интеграл от 1/x и логарифмическая форма	$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\|x\|+C$	Пределы, ряды	Интеграл от обратной функции 1/x — особый ключевой случай. Здесь формула степенного правила неприменима, потому что показатель равен −1, для которого получаем логарифм. Знак модуля делает ответ корректным на интервалах x>0 и x<0 и показывает, что первообразная определена с учётом области.
Интеграл экспоненциальной функции	`\int e^{kx} \,dx = \frac{e^{kx}}{k}+C,\; k\neq 0`	Пределы, ряды	Экспоненциальная функция интегрируется обратно почти в себя: интеграл e^{kx} даёт e^{kx}/k. Эта формула — центральная для дифференциальных уравнений, финансовых и физических задач, где процессы роста и затухания описываются показательной зависимостью. Необходимо учитывать коэффициент k в знаменателе.
Интегралы синуса и косинуса	$\int \sin x\,dx = -\cos x + C, \quad \int \cos x\,dx = \sin x + C$	Пределы, ряды	Интегралы тригонометрических базовых функций сводятся к взаимной смене функций с поправкой знака: производная косинуса даёт минус синус, а синуса — косинус. Поэтому интеграл синуса даёт -cos x + C, а косинуса — sin x + C.
Метод подстановки в интегрировании	$\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u=g(x)$	Пределы, ряды	Подстановка (или метод замены переменной) переносит интеграл к более удобной переменной. Идея: если подынтегральное выражение содержит композицию f(g(x)) и рядом стоит производная g'(x), делаем замену u=g(x), тогда dx заменяется через du. Это переводит задачу в более простую форму.
Интегрирование по частям	$\int u\,dv = uv - \int v\,du$	Пределы, ряды	Интегрирование по частям — это обратное правило произведения для производных. Когда подынтегральное выражение является произведением двух функций, один из множителей берут для дифференцирования, другой — для интегрирования, чтобы упростить вычисление. Правило основано на формуле (uv)'=u'v+uv'.