Математика / Пределы, ряды

Производная степени x^n

Производная степени получается умножением на показатель и уменьшением степени на единицу. Правило степени связывает алгебру многочленов с локальной скоростью изменения функции.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}

power-function-tangent Касательные к степенной функции

На графике степенной функции показаны касательные в разных точках. Чем больше x для x^n при n>1, тем сильнее меняется наклон.

Правило степени переводит показатель в множитель и уменьшает степень на единицу.

Обозначения

$x$: переменная, по которой берется производная, единицы аргумента
$n$: показатель степени, безразмерно
$x^n$: степенная функция, единицы функции

Условия применения

Для целых n формула работает на всей области определения x^n.
Для нецелых n обычно нужно проверить, где функция реально определена и дифференцируема; часто требуется x>0.
Если степень стоит внутри композиции, например (ax+b)^n, дополнительно нужен chain rule.

Ограничения

Формулу нельзя применять к сложной функции без учета внутреннего аргумента.
Для отрицательных степеней надо исключить x=0 из области определения.
Для произвольных действительных n область определения может зависеть от знака x.

Подробное объяснение

Правило степени удобно выводится сначала для натуральных n, а потом обобщается на более широкий класс степеней. Оно показывает, что локальное изменение степенной функции управляется самим показателем степени: чем он больше, тем сильнее рост наклона. Поэтому правило степени лежит в основе почти всех ручных вычислений производных. Для натурального n правило степени можно получить из бинома Ньютона: (x+h)^n-x^n содержит первый член n*x^{n-1}h и более высокие степени h. После деления на h и предельного перехода все члены с оставшимся h исчезают, и остается n*x^{n-1}. Для целых отрицательных степеней формула согласуется с правилом производной частного, но исключает точки, где исходная функция не определена. Для рациональных и действительных показателей обычно используют логарифмическое дифференцирование или представление через exp(n ln x), поэтому в действительном анализе часто требуется x>0. В учебных задачах основная польза формулы в том, что она превращает дифференцирование многочлена в последовательную операцию над степенями. При этом правило степени не заменяет правило цепочки: производная (3x+1)^5 равна 5(3x+1)^4*3, потому что меняется не только внешняя степень, но и внутренний аргумент.

Как пользоваться формулой

Определите показатель n и проверьте область определения функции.
Умножьте функцию на n.
Уменьшите показатель степени на 1.
Если внутри степени есть сложное выражение, отдельно примените chain rule.

Историческая справка

Правило степени стало одной из первых рабочих формул дифференциального исчисления, потому что именно полиномы чаще всего встречались в ранних приложениях. Оно естественно соединяет алгебру и анализ: из вида функции сразу читается ее локальное изменение. Правило степени относится к ранним базовым правилам дифференциального исчисления. Оно естественно возникло из задач о кривых вида y=x^n и из биномиальных разложений. Ньютон активно использовал степенные ряды и обобщенные биномиальные разложения, а Лейбниц развивал удобную символику дифференциалов. В XVIII веке правило стало стандартной частью таблицы производных, а в строгом курсе XIX века получило обоснование через пределы. Сегодня оно остается первой формулой, на которой видно, как из определения производной рождается удобное вычислительное правило.

Историческая линия формулы

Базовая идея правила степени относится к раннему исчислению Ньютона и Лейбница; широкая учебная систематизация связана с Эйлером и последующей традицией анализа. Корректнее связывать правило степени с общей ранней традицией анализа Ньютона и Лейбница, а не с одним автором. Для разных классов показателей строгое обоснование использует разные инструменты: биномиальную формулу, пределы, логарифмы и экспоненту.

Готфрид Вильгельм Лейбниц 1646-1716

Пример

Если f(x)=x^5, то f'(x)=5x^4. Если g(x)=x^{-3}, то g'(x)=-3x^{-4}. В обоих случаях правило работает одинаково: показатель уменьшается на 1, а перед степенью появляется множитель n. Для f(x)=x^5 производная равна 5x^4. В точке x=2 получаем f'(2)=5*16=80. Это число показывает, насколько быстро растет функция около двойки: при малом приросте 0,01 значение x^5 увеличится примерно на 0,8. Точное изменение 2,01^5-2^5 равно примерно 0,808, что близко к линейной оценке. Для отрицательной степени, например f(x)=x^{-2}, формула дает f'(x)=-2x^{-3}, но только при x не равном нулю. Так правило степени работает шире многочленов, однако всегда требует проверки области определения.

Частая ошибка

Самая частая ошибка - оставить степень без изменения, например написать x^n вместо nx^{n-1}. Еще одна - забыть про область определения при дробном или отрицательном показателе. Также часто пропускают цепное правило, когда степень применяется не к самому x, а к более сложному выражению.

Практика

Задачи с решением

Продифференцировать положительную степень

Условие. Найдите производную функции f(x)=x^7.

Решение. По правилу степени f'(x)=7x^6. Показатель степени становится множителем, а новая степень уменьшается на единицу; область определения сохраняется от исходной функции.

Ответ. 7x^6

Продифференцировать отрицательную степень

Условие. Найдите производную функции g(x)=x^{-2}.

Решение. По правилу степени g'(x)=-2x^{-3}. Показатель степени становится множителем, а новая степень уменьшается на единицу; область определения сохраняется от исходной функции.

Ответ. -2x^{-3}

Дополнительные источники

OpenStax Calculus Volume 1, power rule
MIT OpenCourseWare, Single Variable Calculus, rules for derivatives
Thomas' Calculus, differentiation of power functions
Cauchy, Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique, 1821
Tom M. Apostol, Calculus, Vol. 1, chapters on limits and derivatives

Связанные формулы

Математика

Производная постоянной

$\frac{d}{dx}C=0$

Постоянная не меняется при изменении аргумента, поэтому ее производная равна нулю. Это простейшая строка таблицы производных и важная проверка того, от какой переменной зависит выражение.

Математика

Производная sin x

$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$

Производная синуса равна косинусу, если аргумент измеряется в радианах. Радианная мера здесь не техническая мелочь, а условие, без которого формула меняет коэффициент.

Математика

Производная cos x

$\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$

Производная косинуса равна минус синусу и отражает фазовый сдвиг тригонометрической пары. Знак минус отражает то, что около нуля косинус начинает убывать при движении вправо от максимума.

Математика

Производная e^x

$\frac{d}{dx}e^x=e^x$

Экспонента с основанием e является собственной производной: ее темп роста совпадает с ее значением. Это свойство делает экспоненту естественной моделью процессов, где скорость пропорциональна текущему значению.

Математика

Производная ln x

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$

Производная натурального логарифма равна обратной величине аргумента. Ограничение x>0 в действительном анализе здесь так же важно, как сама формула.

Математика

Производная через предел разностного отношения

$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Производная в точке задается пределом разностного отношения и описывает мгновенную скорость изменения функции. Без этой предельной записи производная превращается в набор правил, а не в проверяемое понятие.

Математика

Альгебра пределов

$\lim_{x\to a}(f(x)\pm g(x))=\lim_{x\to a}f(x)\pm\lim_{x\to a}g(x),\qquad \lim_{x\to a}(f(x)g(x))=\left(\lim_{x\to a}f(x)\right)\left(\lim_{x\to a}g(x)\right),\qquad \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}$

Альгебра пределов дает набор правил, которые позволяют переносить предельный переход через сумму, произведение и частное. Это один из самых практичных инструментов начального анализа.