Высшая математика
Аналитическая геометрия
Формулы координатного метода: точки, векторы, прямые, окружности, коники и расстояния в координатах.
84 формулы
Таблица формул
Показаны 1-60 из 84. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Расстояние между точками в декартовых координатах | $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ | Прямые, плоскости | Формула находит длину отрезка между двумя точками по их координатам и является координатной записью теоремы Пифагора. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Середина отрезка по координатам | $M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$ | Прямые, плоскости | Координаты середины отрезка равны средним арифметическим соответствующих координат его концов. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Деление отрезка в заданном отношении | $P\left(\frac{n x_1+m x_2}{m+n},\frac{n y_1+m y_2}{m+n}\right),\quad AP:PB=m:n$ | Прямые, плоскости | Формула дает координаты точки, которая делит отрезок между A и B в отношении m:n, с большим весом у противоположного конца. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Вектор между двумя точками | $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\,y_B-y_A)$ | Прямые, плоскости | Координаты вектора из A в B равны разности координат конца и начала. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Длина вектора по координатам | $\|a\|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$ | Прямые, плоскости | Длина вектора на плоскости вычисляется как корень из суммы квадратов его координат. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Скалярное произведение в координатах | $a\cdot b=a_x b_x+a_y b_y$ | Прямые, плоскости | Скалярное произведение в координатах равно сумме произведений соответствующих координат. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Угол между векторами в координатах | $\cos\varphi=\frac{a_xb_x+a_yb_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2}}$ | Прямые, плоскости | Косинус угла между двумя ненулевыми векторами равен их скалярному произведению, деленному на произведение длин. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Уравнение прямой через две точки | $\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$ | Прямые, плоскости | Уравнение прямой через две точки фиксирует равенство отношений координатных приращений для любой точки этой прямой. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Угловой коэффициент прямой по двум точкам | $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ | Прямые, плоскости | Угловой коэффициент показывает, насколько меняется y при увеличении x на одну единицу. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Расстояние от точки до прямой на плоскости | $d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}},\quad Ax+By+C=0$ | Прямые, плоскости | Расстояние от точки до прямой равно модулю подстановки точки в нормированное общее уравнение прямой. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Уравнение окружности в канонической форме | $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ | Прямые, плоскости | Каноническая форма окружности прямо задает все ее параметры через центр и радиус: центр (a, b), радиус R. Эта запись удобна для проверки принадлежности точки и быстрых преобразований уравнений. |
| Уравнение окружности по центру и радиусу | $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$ | Прямые, плоскости | Эта формула показывает, как получить уравнение окружности, если известны центр и радиус. Переписывать в развернутую форму обычно не нужно до появления задачи на пересечения с прямой или касательные. |
| Уравнение касательной к окружности в заданной точке | $(x_1-a)(x-a_0)+(y_1-b)(y-b_0)=R^2$ | Прямые, плоскости | Уравнение касательной к окружности строится через радиус к точке касания: радиус и касательная перпендикулярны. Формула удобна для получения касательной сразу из центра и точки на окружности. |
| Дискриминант пересечения окружности и прямой | $\Delta=(A^2+B^2)R^2-(A x_0+B y_0+C)^2$ | Прямые, плоскости | Сравнение числа пересечений окружности и прямой удобно делать через знак дискриминанта квадратного уравнения после подстановки. Положительный, нулевой и нулевой/отрицательный знак дают две, одну или нулевую точку пересечения. |
| Каноническое уравнение эллипса | $\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,\ a\ge b>0$ | Прямые, плоскости | Канонический вид описывает эллипс через полуоси a и b и центр (h,k): точки с постоянной суммой расстояний до фокусов формируют замкнутую кривую. |
| Расстояние от центра до фокуса эллипса | $c=\sqrt{a^2-b^2},\quad e=\frac{c}{a}$ | Прямые, плоскости | Для эллипса параметры фокусов определяются через полуоси: расстояние от центра до фокуса c и эксцентриситет e описывают форму и вытянутость кривой. |
| Каноническое уравнение гиперболы | $\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ | Прямые, плоскости | Канонический вид горизонтальной гиперболы задает ее оси симметрии через h,k и полуоси a,b. По знаку между дробями выбирается открытие ветвей по горизонтали или вертикали. |
| Асимптоты гиперболы в канонических координатах | $y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h)$ | Прямые, плоскости | Асимптоты описывают направление ветвей гиперболы и ее поведение на бесконечности. Это линейные прямые, к которым график гиперболы приближается. |
| Каноническое уравнение параболы | $y-k = a(x-h)^2$ | Прямые, плоскости | Каноническая запись параболы связывает ее вершину (h,k) и параметр раскрытия a. При знаке a определяется направление ветвей по оси y. |
| Парабола через фокус и директрису | $\sqrt{(x-x_f)^2+(y-y_f)^2}=\left|\frac{Ax+B y+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|$ | Прямые, плоскости | Определение параболы через фокус и директрису: расстояние от точки кривой до фокуса равно расстоянию от точки до директрисы. Это формула-идея для построения и проверки уравнения параболы. |
| Расстояние между двумя точками в пространстве | $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$ | Прямые, плоскости | Расстояние между точками A и B в трехмерной системе координат находится как длина разностного вектора координат по всем осям. |
| Вектор между двумя точками в пространстве | $\vec{AB}=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$ | Прямые, плоскости | Вектор между точками A и B в 3D строится как разность их координат по каждой оси. Формула "Вектор между двумя точками в пространстве" переводит пространственную геометрию на язык координат и помогает работать с объектами в 3D без неоднозначности рисунка. |
| Уравнение плоскости по точке и нормали | $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$ | Прямые, плоскости | Плоскость в пространстве задается координатами точки на ней и нормальным вектором, перпендикулярным плоскости. Формула "Уравнение плоскости по точке и нормали" переводит пространственную геометрию на язык координат и помогает работать с объектами в 3D без неоднозначности рисунка. |
| Расстояние от точки до плоскости | $d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ | Прямые, плоскости | Расстояние от точки до плоскости вычисляется как отношение модуля подстановки точки в уравнение плоскости к длине нормали. |
| Угол между двумя плоскостями | $\cos\varphi=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}$ | Прямые, плоскости | Острый угол между плоскостями равен углу между их нормалями, для которого используется скалярное произведение. Формула "Угол между двумя плоскостями" переводит пространственную геометрию на язык координат и помогает работать с объектами в 3D без неоднозначности рисунка. |
| Угол между прямой и плоскостью | $\sin\alpha=\frac{|\vec n\cdot\vec v|}{|\vec n||\vec v|}$ | Прямые, плоскости | Угол между прямой и плоскостью определяется через нормаль плоскости и направляющий вектор прямой. Формула "Угол между прямой и плоскостью" переводит пространственную геометрию на язык координат и помогает работать с объектами в 3D без неоднозначности рисунка. |
| Параметрическое уравнение прямой в пространстве | $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{array}\right.$ | Прямые, плоскости | Прямая в 3D задается координатами любой ее точки и направляющим вектором, параметр t указывает удаление вдоль направления. |
| Расстояние от точки до прямой в пространстве | $d=\frac{|(\vec r_0-\vec r_1)\times\vec v|}{|\vec v|}$ | Прямые, плоскости | Минимальное расстояние от точки до прямой в 3D равно норме векторного произведения между радиус-вектором до одной точки прямой и направляющим вектором, деленной на длину направления. |
| Объем параллелепипеда через смешанное произведение | $V=|\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)|$ | Прямые, плоскости | Объем параллелепипеда, построенного на трех векторах, равен модулю скалярного тройного произведения. Формула "Объем параллелепипеда через смешанное произведение" переводит пространственную геометрию на язык координат и помогает работать с объектами в 3D без неоднозначности рисунка. |
| Компланарность четырех точек через смешанное произведение | $V=\left|\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})\right|=0$ | Прямые, плоскости | Четыре точки A, B, C, D лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда смешанное произведение соответствующих трех направляющих векторов равно нулю. |
| Общее уравнение кривой второго порядка | $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ | Прямые, плоскости | Общее уравнение второй степени на плоскости объединяет уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы до поворота и переноса координат. |
| Классификация коники по дискриминанту | $\delta=B^2-4AC:\quad \delta<0\ \text{эллиптический тип},\ \delta=0\ \text{параболический тип},\ \delta>0\ \text{гиперболический тип}$ | Прямые, плоскости | Знак B^2-4AC однозначно определяет тип коники после удаления сдвига и поворота, если кривая не вырождена. Формула "Классификация коники по дискриминанту" помогает перейти от общего уравнения второй степени к читаемому каноническому виду и понять, какая кривая стоит за набором коэффициентов. |
| Центр коники из линейной системы | $\begin{cases}2Ah + Bk + D = 0\\Bh + 2Ck + E = 0\end{cases}$ | Прямые, плоскости | Для коник с A^2 + AC + C^2 > 0 центр (h,k) находится как решение линейной системы, обнуляющей линейные члены после переноса. |
| Угол поворота осей для устранения члена xy | $\tan 2\theta = \frac{B}{A-C}$ | Прямые, плоскости | Поворотом на угол θ убирается смешанный член xy в квадратичной форме второго порядка. Формула "Угол поворота осей для устранения члена xy" помогает перейти от общего уравнения второй степени к читаемому каноническому виду и понять, какая кривая стоит за набором коэффициентов. |
| Перенос начала координат в центр коники | x=X+h,\ y=Y+k;\quad AX^2+BXY+CY^2+J=0 |
Прямые, плоскости | После нахождения центра (h,k) подстановка x=X+h, y=Y+k удаляет линейные члены X и Y. Формула "Перенос начала координат в центр коники" помогает перейти от общего уравнения второй степени к читаемому каноническому виду и понять, какая кривая стоит за набором коэффициентов. |
| Полуоси эллипса после диагонализации | $\lambda_1U^2+\lambda_2V^2+J=0,\quad \lambda_1,\lambda_2>0,\ J<0,\quad a_i^2=\frac{-J}{\lambda_i}$ | Прямые, плоскости | После переноса и поворота эллипс приводится к виду \lambda_1X^2+\lambda_2Y^2+J=0 и полуоси выражаются через собственные значения. |
| Полуоси гиперболы после диагонализации | $\lambda_+U^2+\lambda_-V^2+J=0,\quad \lambda_+>0,\lambda_-<0,\quad a^2=\frac{|J|}{|\lambda_+|},\ b^2=\frac{|J|}{|\lambda_-|}$ | Прямые, плоскости | Для гиперболы после центрирования и поворота одно собственное значение имеет знак минус, другое плюс, из чего напрямую получаются полуоси. |
| Вершина и ось параболы через выделение квадрата | $(Y-k)^2=2p(X-h)\quad \text{или}\quad (X-h)^2=2p(Y-k)$ | Прямые, плоскости | После поворота (если нужно) и смещения, парабола сводится к квадратному выражению относительно одной переменной: это сразу даёт ось и вершину. |
| Критерий вырожденной коники через определитель | $\Delta = \left|\begin{matrix} A & \frac{B}{2} & \frac{D}{2} \\ \frac{B}{2} & C & \frac{E}{2} \\ \frac{D}{2} & \frac{E}{2} & F \end{matrix}\right| = 0$ | Прямые, плоскости | Если детерминант квадратичной формы с линейными и свободным членом равен нулю, возможна вырождённая коника (две прямые, точка, пустое множество). |
| Инвариант следа квадратичной части коники | $A'+C'=A+C=\operatorname{tr}\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}$ | Прямые, плоскости | След квадратичной формы сохраняется при ортогональном повороте; после диагонализации это удобно как контроль правильности вычислений. |
| Уравнение плоскости через три точки через определитель | $\left|\begin{matrix}x & y & z & 1\\x_1 & y_1 & z_1 & 1\\x_2 & y_2 & z_2 & 1\\x_3 & y_3 & z_3 & 1\end{matrix}\right|=0$ | Прямые, плоскости | Уравнение плоскости через три неколлинеарные точки получают из равенства нулю определителя, составленного по координатам этих точек и произвольной точки плоскости. |
| Нормаль плоскости через векторное произведение | $\vec n=(\overrightarrow{AB})\times(\overrightarrow{AC})$ | Прямые, плоскости | Нормаль к плоскости можно найти как векторное произведение двух неколлинеарных направлений, лежащих в этой плоскости. Она нужна для построения уравнений плоскостей, расстояний и углов в пространственных координатных задачах. |
| Параметр пересечения прямой и плоскости | $t= -\frac{A x_0+B y_0+C z_0+D}{A l + B m + C n},\quad x=x_0+lt,\ y=y_0+mt,\ z=z_0+nt$ | Прямые, плоскости | Формула "Параметр пересечения прямой и плоскости" описывает взаимное положение прямых, плоскостей и точек в пространстве через координаты, векторы и ортогональные построения. |
| Направляющий вектор линии пересечения двух плоскостей | $\vec d = \vec n_1 \times \vec n_2$ | Прямые, плоскости | Формула "Направляющий вектор линии пересечения двух плоскостей" описывает взаимное положение прямых, плоскостей и точек в пространстве через координаты, векторы и ортогональные построения. |
| Угол между прямыми в пространстве | $\cos\varphi = \frac{|\vec u\cdot\vec v|}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}$ | Прямые, плоскости | Формула "Угол между прямыми в пространстве" описывает взаимное положение прямых, плоскостей и точек в пространстве через координаты, векторы и ортогональные построения. |
| Расстояние между скрещивающимися прямыми | $d=\frac{|(\vec p_2-\vec p_1)\cdot(\vec u\times\vec v)|}{\|\vec u\times\vec v\|}$ | Прямые, плоскости | Расстояние между скрещивающимися прямыми равно модулю смешанного произведения соединяющего вектора и двух направлений, деленному на длину их векторного произведения. |
| Расстояние между параллельными плоскостями | $d=\frac{|D_2-D_1|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},\quad Ax+By+Cz+D_1=0,\ Ax+By+Cz+D_2=0$ | Прямые, плоскости | Если две плоскости параллельны и приведены к одной нормали, расстояние между ними равно модулю разности свободных членов, деленному на длину нормали. |
| Проекция точки на плоскость | $t=-\frac{A x_0+B y_0+C z_0+D}{A^2+B^2+C^2},\quad x'=x_0+tA,\ y'=y_0+tB,\ z'=z_0+tC$ | Прямые, плоскости | Формула "Проекция точки на плоскость" описывает взаимное положение прямых, плоскостей и точек в пространстве через координаты, векторы и ортогональные построения. |
| Отражение точки относительно плоскости | $P''=P-2\frac{A x_0+B y_0+C z_0+D}{A^2+B^2+C^2}(A,B,C)$ | Прямые, плоскости | Формула "Отражение точки относительно плоскости" описывает взаимное положение прямых, плоскостей и точек в пространстве через координаты, векторы и ортогональные построения. |
| Проекция точки на прямую в пространстве | $t=\frac{(\vec P-\vec P_0)\cdot\vec v}{\|\vec v\|^2},\quad \vec P' = \vec P_0+t\vec v$ | Прямые, плоскости | Формула "Проекция точки на прямую в пространстве" описывает взаимное положение прямых, плоскостей и точек в пространстве через координаты, векторы и ортогональные построения. |
| Переход от полярных к декартовым координатам | $x=r\cos\varphi,\quad y=r\sin\varphi,\quad r=\sqrt{x^2+y^2},\quad \varphi=\operatorname{atan2}(y,x)$ | Прямые, плоскости | Переход между полярными и декартовыми координатами связывает радиус-вектор и угол точки с ее проекциями на координатные оси. |
| Расстояние между точками в полярных координатах | $d=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\varphi_1-\varphi_2)}$ | Прямые, плоскости | Расстояние между двумя полярными точками находится по теореме косинусов для треугольника с сторонами r1, r2 и углом между радиусами. |
| Уравнение прямой в полярных координатах | $r\cos(\varphi-\alpha)=p$ | Прямые, плоскости | Полярное уравнение прямой задает прямую через расстояние p от полюса до прямой и угол α направления ее нормали, что удобно для задач с лучами и секторами. |
| Окружность в полярных координатах | $r^2-2ar\cos\varphi-2br\sin\varphi+a^2+b^2-R^2=0$ | Прямые, плоскости | Полярное уравнение окружности получается из декартовой окружности с центром (a,b) после подстановки x=r cos φ и y=r sin φ. |
| Коника в полярных координатах через фокус и директрису | $r=\frac{\ell}{1+e\cos\varphi}$ | Прямые, плоскости | Полярная форма коники с фокусом в полюсе описывает эллипс, параболу или гиперболу через эксцентриситет e и фокальный параметр ℓ. |
| Производная параметрической кривой | $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt},\quad dx/dt\ne0$ | Прямые, плоскости | Производная параметрической кривой равна отношению скоростей изменения y и x по параметру t, если dx/dt не равно нулю в рассматриваемой точке. |
| Касательная к параметрической кривой | $y-y(t_0)=\frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}\,(x-x(t_0)),\quad x'(t_0)\ne0$ | Прямые, плоскости | Касательная к параметрической кривой строится через точку кривой при t0 и наклон, равный отношению y'(t0) к x'(t0), с отдельной проверкой вертикального случая. |
| Длина дуги параметрической кривой | $L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt$ | Прямые, плоскости | Длина дуги параметрической кривой равна интегралу от скорости точки, движущейся по кривой от параметра a до параметра b. |
| Кривизна параметрической кривой | $\kappa=\frac{|x'y''-y'x''|}{\left((x')^2+(y')^2\right)^{3/2}}$ | Прямые, плоскости | Кривизна параметрической кривой измеряет скорость поворота касательной и выражается через первые и вторые производные координат. |
| Площадь в полярных координатах | $S=\frac12\int_{\alpha}^{\beta} r(\varphi)^2\,d\varphi$ | Прямые, плоскости | Площадь области в полярных координатах равна половине интеграла квадрата радиуса по углу на выбранном промежутке без повторного обхода области. |