Высшая математика

Аналитическая геометрия, страница 2

Формулы координатного метода: точки, векторы, прямые, окружности, коники и расстояния в координатах.

103 формулы

Таблица формул

Показаны 61-103 из 103. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Уравнение сферы по центру и радиусу	$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$	Прямые, плоскости	Сфера с центром в точке (x0,y0,z0) и радиусом R состоит из всех точек пространства, расстояние от которых до центра равно R.
Сфера по концам диаметра	$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)+(z-z_1)(z-z_2)=0$	Прямые, плоскости	Сфера по концам диаметра задается условием прямого угла: точка сферы видит отрезок между концами диаметра под углом 90 градусов.
Касательная плоскость к сфере	$(x_1-x_0)(x-x_1)+(y_1-y_0)(y-y_1)+(z_1-z_0)(z-z_1)=0$	Прямые, плоскости	Касательная плоскость к сфере в точке P перпендикулярна радиусу CP, поэтому ее нормалью служит вектор от центра к точке касания.
Каноническое уравнение эллипсоида	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$	Прямые, плоскости	Эллипсоид является замкнутой квадрикой, у которой все три координатных сечения имеют форму эллипсов или окружностей и ограничивают конечное тело.
Однополостный гиперболоид	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$	Прямые, плоскости	Однополостный гиперболоид имеет две положительные квадратичные координаты и одну отрицательную, а его сечения z=const являются эллипсами.
Двуполостный гиперболоид	$\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	Прямые, плоскости	Двуполостный гиперболоид имеет один положительный квадратный член и два отрицательных, поэтому поверхность распадается на две отдельные части.
Эллиптический параболоид	$z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$	Прямые, плоскости	Эллиптический параболоид раскрывается вдоль одной оси, а его горизонтальные сечения при z>0 являются эллипсами, поэтому поверхность выглядит как чаша.
Гиперболический параболоид	$z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$	Прямые, плоскости	Гиперболический параболоид является седловой поверхностью: в одном вертикальном сечении он раскрывается вверх, а в другом вниз.
Конус второго порядка	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$	Прямые, плоскости	Конус второго порядка является вырожденной квадрикой, у которой сечения z=const дают подобные эллипсы, сходящиеся к вершине.
Цилиндрическая поверхность через независимость координаты	$F(x,y)=0\quad \text{in 3D, independent of } z$	Прямые, плоскости	Цилиндрическая поверхность в пространстве возникает, когда уравнение не содержит одну координату, поэтому плоская кривая протягивается вдоль соответствующей оси.
Перенос начала координат в пространстве	$x'=x-a,\quad y'=y-b,\quad z'=z-c$	Прямые, плоскости	Перенос начала координат в пространстве заменяет старые координаты точки на новые относительно начала O'(a,b,c), не меняя саму геометрию.
Поворот координат на плоскости	$x'=x\cos\alpha+y\sin\alpha,\quad y'=-x\sin\alpha+y\cos\alpha$	Прямые, плоскости	Поворот координат на плоскости описывает координаты той же точки в системе осей, повернутой на угол α относительно старой системы.
Матрица поворота вокруг оси z	$\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$	Прямые, плоскости	Матрица поворота вокруг оси z активно поворачивает точку в плоскости xy на угол θ, оставляя координату z неизменной и сохраняя длины.
Масштабирование координат	$x'=k_xx,\quad y'=k_yy,\quad z'=k_zz$	Прямые, плоскости	Масштабирование координат умножает каждую координату на свой коэффициент и растягивает или сжимает объект вдоль выбранных осей.
Аффинное преобразование точки	$\mathbf{x}'=A\mathbf{x}+\mathbf{b}$	Прямые, плоскости	Аффинное преобразование точки состоит из линейного преобразования A и последующего сдвига b, сохраняя прямые и отношения точек на одной прямой.
Обратное аффинное преобразование	$\mathbf{x}=A^{-1}(\mathbf{x}'-\mathbf{b}),\quad \det A\ne0$	Прямые, плоскости	Обратное аффинное преобразование восстанавливает исходную точку из образа, если матрица линейной части A невырождена и обратима.
Барицентрические координаты точки на отрезке	$P=(1-t)A+tB,\quad 0\le t\le1$	Прямые, плоскости	Барицентрические координаты точки на отрезке выражают точку как взвешенную сумму концов A и B с коэффициентами, сумма которых равна единице.
Барицентрические координаты в треугольнике через площади	$\lambda_A=\frac{S_{PBC}}{S_{ABC}},\quad \lambda_B=\frac{S_{APC}}{S_{ABC}},\quad \lambda_C=\frac{S_{ABP}}{S_{ABC}}$	Прямые, плоскости	Барицентрические координаты точки в треугольнике равны отношениям площадей трех малых треугольников к площади исходного треугольника.
Центр масс системы точек	$\mathbf{r}_c=\frac{\sum_{i=1}^{n}m_i\mathbf{r}_i}{\sum_{i=1}^{n}m_i}$	Прямые, плоскости	Центр масс системы точек является взвешенным средним их радиус-векторов, где весами служат массы или другие положительные коэффициенты.
Инвариант расстояния при ортогональном преобразовании	$\\|Q\mathbf{p}-Q\mathbf{q}\\|=\\|\mathbf{p}-\mathbf{q}\\|,\quad Q^TQ=I$	Прямые, плоскости	Ортогональное преобразование сохраняет расстояние между любыми двумя точками, потому что его матрица сохраняет скалярное произведение.
Градиент функции двух переменных	$\nabla f(a,b)=(f_x(a,b), f_y(a,b))$	Пределы, ряды	Градиент функции двух переменных: формула \nabla f(a,b)=(f_x(a,b), f_y(a,b)) помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Направленная производная через градиент	$D_{\mathbf u}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot\mathbf u=f_x(a,b)u_1+f_y(a,b)u_2,\quad \\|\mathbf u\\|=1$	Пределы, ряды	Направленная производная через градиент: формула D_{\mathbf u}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot\mathbf u=f_x(a,b)u_1+f_y(a,b)u_2,\quad \\|\mathbf u\\|=1 помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется переменные меняются не строго по осям, а вдоль заданного направления: траектории движения, направления...
Касательная плоскость к графику z=f(x,y)	$z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$	Пределы, ряды	Касательная плоскость к графику z=f(x,y): формула z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b) помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Двойной интеграл по области	$\iint_D f(x,y)\,dA=\lim_{\max\Delta A_i\to0}\sum_i f(\xi_i,\eta_i)\,\Delta A_i$	Пределы, ряды	Двойной интеграл по области: формула \iint_D f(x,y)\,dA=\lim_{\max\Delta A_i\to0}\sum_i f(\xi_i,\eta_i)\,\Delta A_i помогает вычислить интеграл и проверить границы применения метода. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Повторный интеграл	$\iint_D f(x,y)\,dA=\int_a^b\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,y)\,dy\,dx=\int_c^d\int_{\gamma(y)}^{\delta(y)} f(x,y)\,dx\,dy$	Пределы, ряды	Повторный интеграл: формула \iint_D f(x,y)\,dA=\int_a^b\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,y)\,dy\,dx=\int_c^d\int_{\gamma(y)}^{\delta(y)} f(x,y)\,dx\,dy помогает требуется требуется требуется требуется требуется важно вычислить интеграл вручную. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Тройной интеграл	$\iiint_G f(x,y,z)\,dV=\lim_{\max \Delta V_i\to0}\sum_i f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\,\Delta V_i$	Пределы, ряды	Тройной интеграл: формула \iiint_G f(x,y,z)\,dV=\lim_{\max \Delta V_i\to0}\sum_i f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\,\Delta V_i помогает вычислить интеграл и проверить границы применения метода. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Полярные координаты в двойном интеграле	$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta$	Пределы, ряды	Полярные координаты в двойном интеграле: формула x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta помогает вычислить интеграл и проверить границы применения метода. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Цилиндрические координаты	$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\quad dV=r\,dr\,d\theta\,dz$	Пределы, ряды	Цилиндрические координаты: формула x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\quad dV=r\,dr\,d\theta\,dz помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Сферические координаты	$x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,\quad dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$	Пределы, ряды	Сферические координаты: формула x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,\quad dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Якобиан замены координат	$J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}x_u & x_v\\ y_u & y_v\end{vmatrix},\qquad dA_{xy}=\|J\|\,dA_{uv}$	Пределы, ряды	Якобиан замены координат: формула J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}x_u & x_v\\ y_u & y_v\end{vmatrix},\qquad dA_{xy}=\|J\|\,dA_{uv} помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Площадь через двойной интеграл	$S(D)=\iint_D 1\,dA$	Пределы, ряды	Площадь через двойной интеграл: формула S(D)=\iint_D 1\,dA помогает вычислить интеграл и проверить границы применения метода. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Объем через тройной интеграл	$V(G)=\iiint_G 1\,dV$	Пределы, ряды	Объем через тройной интеграл: формула V(G)=\iiint_G 1\,dV помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется получить геометрический объем или проверить объемную модель распределения. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Центр масс области и тела	$\bar x=\frac1M\iint_D x\rho(x,y)\,dA,\qquad \bar y=\frac1M\iint_D y\rho(x,y)\,dA,\qquad M=\iint_D \rho\,dA$	Пределы, ряды	Центр масс области и тела: формула \bar x=\frac1M\iint_D x\rho(x,y)\,dA,\qquad \bar y=\frac1M\iint_D y\rho(x,y)\,dA,\qquad M=\iint_D \rho\,dA помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Криволинейный интеграл первого рода	$\int_C f\,ds=\int_a^b f(\mathbf r(t))\,\\|\mathbf r'(t)\\|\,dt$	Пределы, ряды	Криволинейный интеграл первого рода: формула \int_C f\,ds=\int_a^b f(\mathbf r(t))\,\\|\mathbf r'(t)\\|\,dt помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется величина распределена по траектории: плотность по дороге, массовая распределенность вдоль проволоки или среднее значение по контуру. В текст...
Криволинейный интеграл второго рода	$\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b \left(P\,x'(t)+Q\,y'(t)+R\,z'(t)\right)dt$	Пределы, ряды	Криволинейный интеграл второго рода: формула \int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b \left(P\,x'(t)+Q\,y'(t)+R\,z'(t)\right)dt помогает вычислить интеграл и проверить границы применения метода. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Поверхностный интеграл первого рода	$\iint_S g\,dS=\iint_D g(\mathbf r(u,v))\,\\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\\|\,du\,dv$	Пределы, ряды	Поверхностный интеграл первого рода: формула \iint_S g\,dS=\iint_D g(\mathbf r(u,v))\,\\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\\|\,du\,dv помогает вычислить интеграл и проверить границы применения метода. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Поток векторного поля через поверхность	$\Phi=\iint_S \mathbf F\cdot \mathbf n\,dS=\iint_S (P n_1+Q n_2+R n_3)\,dS$	Пределы, ряды	Поток векторного поля через поверхность: формула \Phi=\iint_S \mathbf F\cdot \mathbf n\,dS=\iint_S (P n_1+Q n_2+R n_3)\,dS помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Дивергенция векторного поля	$\nabla\cdot\mathbf F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$	Пределы, ряды	Дивергенция векторного поля: формула \nabla\cdot\mathbf F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Ротор векторного поля	$\nabla\times\mathbf F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)$	Пределы, ряды	Ротор векторного поля: формула \nabla\times\mathbf F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы...
Теорема Грина	$\oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy=\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$	Пределы, ряды	Теорема Грина: формула \oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy=\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.