Все формулы РФ

Математика / Прямые, плоскости

Двуполостный гиперболоид

Двуполостный гиперболоид имеет один положительный квадратный член и два отрицательных, поэтому поверхность распадается на две отдельные части.

Опубликовано: Обновлено:

Аналитическая геометрияГеометрия в пространствеПоверхности второго порядкаКанонический видКлассификация квадрик

Формула

$$\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$
two-sheet-hyperboloid Визуальное пояснение

Поверхность состоит из двух отдельных полостей, расположенных по обе стороны от центра.

Две полости вдоль положительной оси.

Обозначения

$a,b,c$
масштабы гиперболоида по осям, единицы длины
$x,y,z$
координаты точки поверхности, единицы длины

Условия применения

  • Параметры a, b, c положительны.
  • Правая часть равна 1.
  • В канонической форме ровно один квадратный член имеет знак плюс.

Ограничения

  • При правой части 0 получается конус, а не двуполостный гиперболоид.
  • Сечение z=0 отсутствует, что является важной проверкой.
  • Поворот осей и сдвиг центра должны быть устранены до распознавания.

Подробное объяснение

Двуполостный гиперболоид имеет ось вдоль положительного квадратного члена. Чтобы сечение было непустым, положительный член должен быть достаточно большим, поэтому поверхность появляется только при |z|≥c и разделяется на две части. Поверхности второго порядка в пространстве являются трехмерным продолжением коник на плоскости. Их уравнения содержат квадраты координат, а форма поверхности зависит от знаков, коэффициентов и отсутствующих переменных. Практический смысл таких страниц не в запоминании названия, а в распознавании геометрии по уравнению: замкнутая поверхность, седло, конус, цилиндр или бесконечная поверхность с одной или двумя полостями. Поэтому после записи формулы полезно делать сечения плоскостями x=const, y=const, z=const: именно сечения быстро показывают, что перед нами сфера, эллипсоид, гиперболоид или параболоид. Для этой страницы главная проверка такая: центральное сечение перпендикулярно положительной оси должно быть пустым. Если она не проходит, значит поверхность либо записана не в канонической системе координат, либо относится к другому типу квадрик.

Как пользоваться формулой

  1. Приведите уравнение к правой части 1.
  2. Найдите единственный положительный квадратный член.
  3. Проверьте, что при нулевой координате вдоль этой оси сечение отсутствует.
  4. Определите вершины полостей при равенстве положительного члена единице.

Историческая справка

Двуполостный гиперболоид является пространственным аналогом гиперболических ветвей и показывает, как знаки квадратичной формы меняют связность поверхности. Координатное описание пространственных поверхностей выросло из аналитической геометрии, связанной с работами Рене Декарта и Пьера Ферма, а затем развивалось вместе с алгебраической геометрией и математическим анализом. В XVIII-XIX веках квадрики стали стандартным объектом учебной и инженерной геометрии: их изучали через канонические уравнения, сечения, касательные плоскости и преобразования координат. Современная запись поверхностей второго порядка является частью общей традиции координатного метода, а не результатом одного открытия.

Историческая линия формулы

У этой формулы нет одного автора в современном учебном смысле. Исторически корректно связывать ее с развитием координатного метода у Декарта и Ферма, а каноническую классификацию квадрик - с последующей традицией аналитической геометрии и линейной алгебры.

Пример

Поверхность z²/9-x²/4-y²=1 является двуполостным гиперболоидом. При z=0 левая часть не может равняться 1, поэтому центрального сечения нет. При z=3 получаем x²/4+y²=0, одну вершину полости, а при |z|>3 появляются эллиптические сечения. После вычисления нужно сделать геометрическую проверку: подставить несколько контрольных точек, посмотреть сечения координатными плоскостями и убедиться, что знаки квадратов соответствуют ожидаемой форме. Если поверхность должна быть замкнутой, уравнение не должно давать бесконечные ветви; если это параболоид или гиперболоид, поведение при больших координатах должно быть согласовано с канонической формой.

Частая ошибка

Если просто увидеть слово «гиперболоид» и не посчитать знаки, легко выбрать неправильный тип. У двуполостного гиперболоида два минуса, одна положительная ось и разрыв между полостями. Частая общая ошибка - смотреть только на наличие квадратов и не анализировать знаки. У эллипсоида все квадратные члены одного знака, у гиперболоида один или два знака отличаются, у параболоидов одна координата входит линейно, а у цилиндра одна координата вообще отсутствует. Еще одна ошибка - не приводить уравнение к каноническому виду перед распознаванием.

Практика

Задачи с решением

Распознать поверхность

Условие. Определите тип z²/16-x²-y²/4=1.

Решение. Один положительный квадрат z²/16 и два отрицательных квадрата дают двуполостный гиперболоид.

Ответ. Двуполостный гиперболоид

Найти вершины

Условие. Для z²/16-x²-y²/4=1 найдите точки на оси z при x=y=0.

Решение. Получаем z²/16=1, значит z=±4.

Ответ. (0,0,4) и (0,0,-4)

Дополнительные источники

  • OpenStax. Calculus Volume 3, Quadric Surfaces.
  • Paul Dawkins. Lamar University Calculus III, Quadric Surfaces.

Связанные формулы

Математика

Однополостный гиперболоид

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$

Однополостный гиперболоид имеет две положительные квадратичные координаты и одну отрицательную, а его сечения z=const являются эллипсами.

Математика

Каноническое уравнение гиперболы

$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$

Канонический вид горизонтальной гиперболы задает ее оси симметрии через h,k и полуоси a,b. По знаку между дробями выбирается открытие ветвей по горизонтали или вертикали.

Математика

Полуоси гиперболы после диагонализации

$\lambda_+U^2+\lambda_-V^2+J=0,\quad \lambda_+>0,\lambda_-<0,\quad a^2=\frac{|J|}{|\lambda_+|},\ b^2=\frac{|J|}{|\lambda_-|}$

Для гиперболы после центрирования и поворота одно собственное значение имеет знак минус, другое плюс, из чего напрямую получаются полуоси.

Математика

Конус второго порядка

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$

Конус второго порядка является вырожденной квадрикой, у которой сечения z=const дают подобные эллипсы, сходящиеся к вершине.