Математический анализ
Пределы
Формулы и методы вычисления пределов функций и последовательностей, включая односторонние и бесконечные пределы.
30 формул
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Предел функции в точке | $\lim_{x\to a} f(x)=L$ | Пределы, ряды | Предел функции в точке фиксирует значение, к которому стремится функция при приближении аргумента к заданному числу. Это базовая запись для всего дальнейшего анализа: она отделяет поведение функции в окрестности точки от ее значения в самой точке. |
| Односторонние пределы | $\lim_{x\to a-} f(x)=L_{-},\qquad \lim_{x\to a+} f(x)=L_{+}$ | Пределы, ряды | Односторонние пределы описывают поведение функции только слева или только справа от точки. Они особенно важны для кусочных функций, границ области определения и проверки существования двухстороннего предела. |
| Предел функции на бесконечности | $\lim_{x\to\infty} f(x)=L$ | Пределы, ряды | Предел на бесконечности описывает, к какому числу стремится функция при больших значениях аргумента. Это основной язык для горизонтальных асимптот и для понимания долгосрочного поведения модели. |
| Бесконечный предел функции | $\lim_{x\to a} f(x)=\infty$ | Пределы, ряды | Бесконечный предел означает, что значения функции неограниченно растут по модулю при приближении аргумента к точке. Это удобно для описания вертикальных асимптот и резких всплесков. |
| Бесконечно малая функция | $\lim_{x\to a}\alpha(x)=0$ | Пределы, ряды | Бесконечно малая функция - это функция, которая стремится к нулю в заданном предельном процессе. Такой язык удобно использовать для оценок, сравнения порядков малости и вывода стандартных пределов. |
| Стандартный предел sin x / x | $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ | Пределы, ряды | Это один из главных стандартных пределов математического анализа. Он лежит в основе производной синуса, многих тригонометрических оценок и предельных переходов в начале курса. |
| Стандартный предел, связанный с числом e | $\lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x}=e$ | Пределы, ряды | Этот предел дает одно из самых известных определений числа e. Он появляется в задачах о росте, сложных процентах, экспоненциальных моделях и анализе малых приращений. |
| Альгебра пределов | $\lim_{x\to a}(f(x)\pm g(x))=\lim_{x\to a}f(x)\pm\lim_{x\to a}g(x),\qquad \lim_{x\to a}(f(x)g(x))=\left(\lim_{x\to a}f(x)\right)\left(\lim_{x\to a}g(x)\right),\qquad \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}$ | Пределы, ряды | Альгебра пределов дает набор правил, которые позволяют переносить предельный переход через сумму, произведение и частное. Это один из самых практичных инструментов начального анализа. |
| Непрерывность функции в точке | $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$ | Пределы, ряды | Непрерывность в точке означает, что предельное значение функции совпадает с ее значением в самой точке. Это первый и самый важный мост от понятия предела к вычислениям и графикам. |
| Устранимый разрыв функции | $\tilde f(x)=\begin{cases}f(x),&x\ne a\\\lim_{x\to a}f(x),&x=a\end{cases}$ | Пределы, ряды | Устранимый разрыв возникает, когда предел в точке существует и конечен, но значение функции в самой точке отсутствует или не совпадает с этим пределом. Такой разрыв можно устранить переопределением функции. |
| Производная через предел разностного отношения | $f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ | Пределы, ряды | Производная в точке задается пределом разностного отношения и описывает мгновенную скорость изменения функции. Без этой предельной записи производная превращается в набор правил, а не в проверяемое понятие. |
| Предел последовательности | $\lim_{n \to \infty} a_n = L$ | Пределы, ряды | Предел последовательности показывает число L, к которому стремятся члены a_n при n→∞; это базовый элемент анализа для оценки долгосрочного поведения. |
| Геометрическая прогрессия как ряд | $a_n = a_1 q^{n-1}, \quad n\in\mathbb N$ | Пределы, ряды | Общий член геометрической прогрессии определяется умножением первого члена на степень знаменателя n−1. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой. |
| Сумма бесконечного геометрического ряда | $\sum_{n=1}^{\infty} a_1 q^{n-1} = \frac{a_1}{1-q}, \quad |q|<1$ | Пределы, ряды | Если |q|<1, бесконечная геометрическая сумма равна a_1/(1-q). Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой. |
| Необходимый признак сходимости ряда | $\sum_{n=1}^{\infty} a_n\text{ сходится }\Rightarrow\lim_{n\to\infty} a_n=0$ | Пределы, ряды | Если ряд сходится, то его члены обязательно стремятся к нулю; это обязательный, но не достаточный тест. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой. |
| Гармонический ряд | $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \,\,\text{(расходится)}$ | Пределы, ряды | Гармонический ряд является эталоном: член 1/n→0 слишком медленно для сходимости. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой. |
| p-ряды | $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \text{ сходится }\iff p>1$ | Пределы, ряды | Сходимость p-рядов полностью описывается значением p относительно 1. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой. |
| Признак сравнения | $0\le a_n\le b_n,\;\sum b_n\text{ сходится }\Rightarrow\sum a_n\text{ сходится};\;0\le b_n\le a_n,\;\sum b_n\text{ расходится }\Rightarrow\sum a_n\text{ расходится}$ | Пределы, ряды | Сравнение с уже изученным рядом позволяет быстро переносить сходимость и расходимость. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой. |
| Признак Даламбера | $L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|;\;L<1\Rightarrow\text{абс.схожд};\;L>1\Rightarrow\text{расхожд};\;L=1\text{ не информативно}$ | Пределы, ряды | Отношение соседних членов определяет геометрический тип убывания ряда в хвосте. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой. |
| Признак Коши для рядов | $a_n>0, a_n\downarrow 0 \Rightarrow \sum a_n \text{ сходится }\iff \sum 2^n a_{2^n} \text{ сходится}$ | Пределы, ряды | Критерий уплотнения (Коши) сводит ряд к подвыборке с индексом 2^n. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой. |
| Абсолютная и условная сходимость | $\sum a_n\text{ абсолютно сходится}\iff\sum|a_n|\text{ сходится};\;\sum a_n\text{ условно сходится }\iff\sum a_n\text{ сходится, но }\sum|a_n|\text{ расходится}$ | Пределы, ряды | Классификация разделяет устойчивую сходимость от сходимости за счёт знакопеременного баланса. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой. |
| Предел функции двух переменных в точке | $\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=L \iff \forall \epsilon>0 \exists \delta>0:0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta \Rightarrow |f(x,y)-L|<\epsilon$ | Пределы, ряды | Предел функции двух переменных в точке: формула \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=L \iff \forall \epsilon>0 \exists \delta>0:0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta \Rightarrow |f(x,y)-L|<\epsilon помогает найти предел с учетом области определения и ведущих членов. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Степенной ряд | $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n$ | Пределы, ряды | Степенной ряд: формула \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Радиус сходимости степенного ряда | $R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}},\quad (1/\limsup=\infty\text{ если }\limsup=0),\quad (1/\infty=0)$ | Пределы, ряды | Радиус сходимости степенного ряда: формула R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}},\quad (1/\limsup=\infty\text{ если }\limsup=0),\quad (1/\infty=0) помогает }\limsup=0),\quad (1/\infty=0) помогает }\limsup=0),\quad (1/\infty=0) помогает }\limsup=0),\quad (1/\infty=0) помогает }\limsup=0),\quad (1/\infty=0... |
| Интервал сходимости степенного ряда | $I=(a-R,a+R),\quad a\pm R\text{ — проверяются отдельно }$ | Пределы, ряды | Интервал сходимости степенного ряда: формула I=(a-R,a+R),\quad a\pm R\text{ — проверяются отдельно } помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Правило Лопиталя для неопределенностей 0/0 и infinity/infinity | $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ | Пределы, ряды | Правило Лопиталя заменяет предел отношения функций пределом отношения их производных, когда исходная дробь дает неопределенность 0/0 или infinity/infinity и выполнены условия дифференцируемости. |
| Остаток Пеано в формуле Тейлора | $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+o\bigl((x-a)^n\bigr),\quad x\to a$ | Пределы, ряды | Остаток Пеано показывает, что ошибка тейлоровского многочлена n-й степени мала по сравнению с (x-a)^n. Такая запись фиксирует локальный порядок приближения без точной оценки константы. |
| Критерий Коши сходимости числового ряда | $\sum_{n=1}^{\infty}a_n\text{ сходится}\Longleftrightarrow \forall\varepsilon>0\ \exists N:\left|\sum_{k=m}^{n}a_k\right|<\varepsilon\quad(n\ge m\ge N)$ | Пределы, ряды | Критерий Коши проверяет сходимость ряда через малость любых достаточно дальних хвостовых сумм. Он не требует заранее знать сумму ряда и выражает полноту числовой прямой. |
| Признак сравнения для несобственных интегралов | $0\le f(x)\le g(x),\quad \int_a^b g(x)\,dx<\infty\ \Rightarrow\ \int_a^b f(x)\,dx<\infty$ | Пределы, ряды | Признак сравнения переносит сходимость или расходимость несобственного интеграла с известной функции на сравниваемую неотрицательную функцию через поточечное неравенство. |
| Верхняя и нижняя суммы Дарбу | $U(f,P)=\sum_{i=1}^{n} M_i\Delta x_i,\quad L(f,P)=\sum_{i=1}^{n} m_i\Delta x_i$ | Пределы, ряды | Суммы Дарбу оценивают площадь под ограниченной функцией сверху и снизу. Их сближение служит строгим критерием римановой интегрируемости. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |