Математический анализ

Стандартные пределы

Базовые пределы, которые часто используются как готовые кирпичики в вычислениях.

6 формул

Таблица формул

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Стандартный предел sin x / x	$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$	Пределы, ряды	Это один из главных стандартных пределов математического анализа. Он лежит в основе производной синуса, многих тригонометрических оценок и предельных переходов в начале курса.
Стандартный предел, связанный с числом e	$\lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x}=e$	Пределы, ряды	Этот предел дает одно из самых известных определений числа e. Он появляется в задачах о росте, сложных процентах, экспоненциальных моделях и анализе малых приращений.
Интервал сходимости степенного ряда	$I=(a-R,a+R),\quad a\pm R\text{ — проверяются отдельно }$	Пределы, ряды	После нахождения радиуса сходимости остаётся завершить задачу, исследовав сам интервал. Внутри I ряд гарантированно сходится, вне I расходится, а на концах R-круговой границы возможны любые варианты: сходящийся, расходящийся или условно сходящийся. Поэтому интервал сходимости всегда строится в два шага: «внутри/снаружи» по R и «границы» по отдельным критериям.
Ряд Маклорена для e^x	$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\quad x\in\mathbb R$	Пределы, ряды	Это базовый специальный случай Тейлора в точке a=0. Ключевой плюс разложения в нуле — все производные e^x в 0 равны 1, поэтому коэффициенты просты и серия даёт очень удобную рабочую модель для вычислений, линейных аппроксимаций и решения задач на оценку роста.
Ряд Маклорена для cos x	$\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad x\in\mathbb R$	Пределы, ряды	Косинус разлагается в чётные степени с чередованием знаков, что делает его удобным для оценки и для вычислений вблизи нуля. Это разложение естественно дополняет ряд синуса и часто используется вместе с ним в задачах колебаний и в методах линейного приближения.
Дифференцирование и интегрирование степенных рядов	$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^n \Rightarrow f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n(x-a)^{n-1},\quad \int f(x)\,dx=C+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}(x-a)^{n+1}$	Пределы, ряды	Внутри круга сходимости степень по степеням можно дифференцировать и интегрировать член за членом, сохраняя тот же центр и радиус сходимости. Это делает ряды удобным вычислительным контуром: сложная функция заменяется полиномиальной моделью, которая легко подвергается операциям.