Математический анализ
Стандартные пределы
Базовые пределы, которые часто используются как готовые кирпичики в вычислениях.
7 формул
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Стандартный предел sin x / x | $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ | Пределы, ряды | Это один из главных стандартных пределов математического анализа. Он лежит в основе производной синуса, многих тригонометрических оценок и предельных переходов в начале курса. |
| Стандартный предел, связанный с числом e | $\lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x}=e$ | Пределы, ряды | Этот предел дает одно из самых известных определений числа e. Он появляется в задачах о росте, сложных процентах, экспоненциальных моделях и анализе малых приращений. |
| Интервал сходимости степенного ряда | $I=(a-R,a+R),\quad a\pm R\text{ — проверяются отдельно }$ | Пределы, ряды | Интервал сходимости степенного ряда: формула I=(a-R,a+R),\quad a\pm R\text{ — проверяются отдельно } помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Ряд Маклорена для e^x | $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\quad x\in\mathbb R$ | Пределы, ряды | Ряд Маклорена для e^x: формула e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\quad x\in\mathbb R помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Ряд Маклорена для cos x | $\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad x\in\mathbb R$ | Пределы, ряды | Ряд Маклорена для cos x: формула \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad x\in\mathbb R помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Дифференцирование и интегрирование степенных рядов | $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^n \Rightarrow f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n(x-a)^{n-1},\quad \int f(x)\,dx=C+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}(x-a)^{n+1}$ | Пределы, ряды | Дифференцирование и интегрирование степенных рядов: формула f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^n \Rightarrow f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n(x-a)^{n-1},\quad \int f(x)\,dx=C+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}(x-a)^{n+1} помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется найти производную или диффер... |
| Правило Лопиталя для неопределенностей 0/0 и infinity/infinity | $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ | Пределы, ряды | Правило Лопиталя заменяет предел отношения функций пределом отношения их производных, когда исходная дробь дает неопределенность 0/0 или infinity/infinity и выполнены условия дифференцируемости. |