Все формулы РФ

Математика / Прямые, плоскости

Уравнение сферы по центру и радиусу

Сфера с центром в точке (x0,y0,z0) и радиусом R состоит из всех точек пространства, расстояние от которых до центра равно R.

Опубликовано: Обновлено:

Аналитическая геометрияГеометрия в пространствеПоверхности второго порядкаКанонический видСфера

Формула

$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$$
sphere-center-radius Визуальное пояснение

Сфера показана как множество точек на одинаковом расстоянии R от центра C.

Сфера задается постоянным расстоянием до центра.

Обозначения

$x,y,z$
координаты произвольной точки сферы, единицы длины
$x_0,y_0,z_0$
координаты центра сферы, единицы длины
$R$
радиус сферы, единицы длины

Условия применения

  • Центр и переменная точка заданы в одной декартовой системе координат.
  • Радиус неотрицателен: R≥0.
  • Уравнение описывает поверхность сферы, а не весь шар внутри нее.

Ограничения

  • При R=0 сфера вырождается в одну точку.
  • Для шара нужно использовать не равенство, а неравенство с ≤R².
  • Если координаты масштабированы по-разному, поверхность перестает быть сферой в обычной евклидовой метрике.

Подробное объяснение

Уравнение сферы является прямым применением формулы расстояния между двумя точками в пространстве. Если расстояние от текущей точки до фиксированного центра равно R, то квадрат расстояния равен R², что и дает сумму трех квадратов. Поверхности второго порядка в пространстве являются трехмерным продолжением коник на плоскости. Их уравнения содержат квадраты координат, а форма поверхности зависит от знаков, коэффициентов и отсутствующих переменных. Практический смысл таких страниц не в запоминании названия, а в распознавании геометрии по уравнению: замкнутая поверхность, седло, конус, цилиндр или бесконечная поверхность с одной или двумя полостями. Поэтому после записи формулы полезно делать сечения плоскостями x=const, y=const, z=const: именно сечения быстро показывают, что перед нами сфера, эллипсоид, гиперболоид или параболоид. Для этой страницы главная проверка такая: любое сечение плоскостью через центр должно быть окружностью радиуса R. Если она не проходит, значит поверхность либо записана не в канонической системе координат, либо относится к другому типу квадрик.

Как пользоваться формулой

  1. Запишите координаты центра сферы.
  2. Вычтите координаты центра из x, y и z.
  3. Сложите квадраты разностей и приравняйте R².
  4. Проверьте точку подстановкой или вычислением расстояния до центра.

Историческая справка

Сфера была классическим объектом геометрии задолго до координатной записи, но координатный метод дал простой способ работать с ее центром, радиусом и сечениями. Координатное описание пространственных поверхностей выросло из аналитической геометрии, связанной с работами Рене Декарта и Пьера Ферма, а затем развивалось вместе с алгебраической геометрией и математическим анализом. В XVIII-XIX веках квадрики стали стандартным объектом учебной и инженерной геометрии: их изучали через канонические уравнения, сечения, касательные плоскости и преобразования координат. Современная запись поверхностей второго порядка является частью общей традиции координатного метода, а не результатом одного открытия.

Историческая линия формулы

У этой формулы нет одного автора в современном учебном смысле. Исторически корректно связывать ее с развитием координатного метода у Декарта и Ферма, а каноническую классификацию квадрик - с последующей традицией аналитической геометрии и линейной алгебры.

Пример

Сфера с центром C(1,-2,3) и радиусом 4 имеет уравнение (x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=16. Точка P(1,2,3) принадлежит сфере, потому что (1-1)^2+(2+2)^2+(3-3)^2=16. Точка Q(1,-2,3) является центром и не лежит на сфере при R=4, потому что расстояние до центра равно нулю. После вычисления нужно сделать геометрическую проверку: подставить несколько контрольных точек, посмотреть сечения координатными плоскостями и убедиться, что знаки квадратов соответствуют ожидаемой форме. Если поверхность должна быть замкнутой, уравнение не должно давать бесконечные ветви; если это параболоид или гиперболоид, поведение при больших координатах должно быть согласовано с канонической формой.

Частая ошибка

Часто путают сферу и шар: равенство задает только поверхность, а не внутренность. Еще одна ошибка - неверно раскрывать скобки при отрицательных координатах центра, например центр y0=-2 дает член (y+2)^2. Частая общая ошибка - смотреть только на наличие квадратов и не анализировать знаки. У эллипсоида все квадратные члены одного знака, у гиперболоида один или два знака отличаются, у параболоидов одна координата входит линейно, а у цилиндра одна координата вообще отсутствует. Еще одна ошибка - не приводить уравнение к каноническому виду перед распознаванием.

Практика

Задачи с решением

Записать уравнение сферы

Условие. Центр C(2,0,-1), радиус R=3. Запишите уравнение сферы.

Решение. Подставляем координаты центра: (x-2)^2+y^2+(z+1)^2=9.

Ответ. (x-2)^2+y^2+(z+1)^2=9

Проверить точку

Условие. Лежит ли P(5,0,-1) на сфере (x-2)^2+y^2+(z+1)^2=9?

Решение. Подстановка дает (5-2)^2+0+(−1+1)^2=9, значит точка лежит на сфере.

Ответ. Да

Дополнительные источники

  • OpenStax. Calculus Volume 3, Quadric Surfaces.
  • Paul Dawkins. Lamar University Calculus III, Quadric Surfaces.

Связанные формулы

Математика

Сфера по концам диаметра

$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)+(z-z_1)(z-z_2)=0$

Сфера по концам диаметра задается условием прямого угла: точка сферы видит отрезок между концами диаметра под углом 90 градусов.

Математика

Касательная плоскость к сфере

$(x_1-x_0)(x-x_1)+(y_1-y_0)(y-y_1)+(z_1-z_0)(z-z_1)=0$

Касательная плоскость к сфере в точке P перпендикулярна радиусу CP, поэтому ее нормалью служит вектор от центра к точке касания.

Математика

Уравнение плоскости по точке и нормали

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

Плоскость в пространстве задается координатами точки на ней и нормальным вектором, перпендикулярным плоскости. Формула "Уравнение плоскости по точке и нормали" переводит пространственную геометрию на язык координат и помогает работать с объектами в 3D без неоднозначности рисунка.