Линейная алгебра
Образ отображения
Столбцовое пространство, достижимые выходы, сюръективность и связь с рангом.
6 формул
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Образ линейного отображения | $\operatorname{Im}T=\{T(v)\mid v\in V\}$ | Матрицы, определители | Образ линейного отображения - это множество всех векторов, которые реально могут получиться на выходе. Для матрицы это столбцовое пространство, натянутое на ее столбцы. |
| Ранг линейного отображения | $\operatorname{rank}T=\dim\operatorname{Im}T$ | Матрицы, определители | Ранг линейного отображения равен размерности его образа. Он показывает, сколько независимых направлений результата реально достижимо. |
| Теорема о ранге и дефекте | $\dim V=\operatorname{rank}T+\dim\ker T$ | Матрицы, определители | Теорема о ранге и дефекте говорит, что размерность исходного пространства равна сумме размерности образа и размерности ядра линейного отображения. |
| Критерий сюръективности линейного отображения через образ | $T\text{ surjective}\iff\operatorname{Im}T=W$ | Матрицы, определители | Линейное отображение сюръективно, если его образ совпадает со всем пространством значений. В матричном языке это означает полный строковый ранг. |
| Размерности ядра и образа матрицы | $\dim\ker A=n-r,\quad \dim\operatorname{Im}A=r$ | Матрицы, определители | Если матрица A имеет n столбцов и ранг r, то размерность ее ядра равна n-r, а размерность образа равна r. Это матричная форма теоремы о ранге и дефекте. |
| Столбцы матрицы линейного отображения | $A e_j=a_j=T(e_j)$ | Матрицы, определители | j-й столбец матрицы линейного отображения равен образу j-го базисного вектора. Это позволяет читать действие отображения прямо по столбцам матрицы. |