Математика / Матрицы, определители
Образ линейного отображения
Образ линейного отображения - это множество всех векторов, которые реально могут получиться на выходе. Для матрицы это столбцовое пространство, натянутое на ее столбцы.
Формула
Все выходы Ax получаются линейными комбинациями столбцов матрицы A.
Правая часть системы должна лежать в образе, иначе точного решения нет.
Обозначения
- $T$
- линейное отображение из V в W, оператор
- $V$
- исходное пространство, векторное пространство
- $W$
- пространство значений, векторное пространство
- $\operatorname{Im}T$
- образ отображения, множество достижимых выходов, подпространство W
Условия применения
- Отображение должно быть линейным.
- Все значения T(v) рассматриваются в одном и том же пространстве W.
- Если T задано матрицей A, образ равен линейной оболочке столбцов A.
Ограничения
- Образ показывает достижимые выходы, но не говорит, сколько входов ведет к одному выходу.
- Для явного базиса образа нужно выбрать независимые столбцы или ведущие столбцы после приведения.
- В численной задаче почти зависимые столбцы могут затруднять определение размерности образа.
Подробное объяснение
Образ линейного отображения отвечает на вопрос, какие выходы достижимы. Если T: V -> W, то каждый вход v дает выход T(v). Все такие выходы вместе образуют Im T. Благодаря линейности это множество является подпространством W: сумма двух достижимых выходов снова достижима, и умножение достижимого выхода на число тоже достижимо.
В матричной форме образ имеет очень конкретный вид. Если A имеет столбцы c1,...,cn, то Ax = x1c1 + ... + xncn. Значит все возможные Ax - это все линейные комбинации столбцов A. Поэтому образ матрицы называют столбцовым пространством. Его базис можно получить, выбрав независимые столбцы, обычно соответствующие ведущим столбцам после приведения матрицы.
Образ напрямую связан с совместностью систем. Уравнение Ax=b имеет решение тогда и только тогда, когда b принадлежит образу A. Это та же идея, которая в ранговом критерии записывается как rank A = rank[A|b]. Если b вне образа, правая часть требует недостижимого результата.
В геометрии образ описывает, во что пространство сжимается или разворачивается. Например, отображение из R^2 в R^3 может иметь образом плоскость, а не весь R^3. Это не недостаток записи, а важная информация: матрица может достигать только тех выходов, которые лежат в этой плоскости.
Как пользоваться формулой
- Запишите матрицу A или формулу T(v).
- Если дана матрица, выпишите ее столбцы.
- Найдите независимые столбцы или ведущие столбцы после приведения.
- Запишите образ как линейную оболочку выбранных столбцов.
- Для проверки b решите вопрос, можно ли представить b линейной комбинацией этих столбцов.
Историческая справка
Образ линейного отображения стал привычным понятием после оформления языка векторных пространств и линейных преобразований. В ранней матричной практике та же идея появлялась как вопрос о том, какие правые части можно получить из линейных комбинаций столбцов. Когда матрицы стали рассматривать не только как таблицы коэффициентов, но и как отображения, образ получил самостоятельный смысл. Исторически здесь важны и развитие пространственного языка у Грассмана, и матричная терминология, связанная с Сильвестром и Кэли. В дальнейшем образ стал ключевым понятием для ранга, сюръективности, линейных операторов и функционального анализа: он описывает не способ вычисления, а множество всех возможных результатов.
Историческая линия формулы
Образ линейного отображения - результат развития общего языка линейной алгебры. Его корректно связывать с переходом от систем уравнений к линейным отображениям, а не с одним изобретателем. Упоминание Грассмана и Сильвестра здесь относится к развитию языка пространств и матриц, а не к единоличному авторству.
Пример
Пусть A = [[1,0],[0,1],[1,1]], и T(x,y)=A[x,y]^T = (x, y, x+y). Образ состоит из всех векторов вида (x, y, x+y), то есть из плоскости в R^3 с уравнением z = x + y. Столбцы A равны c1=(1,0,1) и c2=(0,1,1), и образ равен span{c1,c2}. Эти столбцы независимы, поэтому размерность образа равна 2. Вектор b=(2,3,5) лежит в образе, потому что 5=2+3; вектор (2,3,6) не лежит, потому что нарушает условие z=x+y. Такую проверку удобно использовать в задачах Ax=b: правая часть достижима ровно тогда, когда она принадлежит столбцовому пространству матрицы.
Частая ошибка
Часто образ путают с областью определения: образ лежит не в V, а в W. Вторая ошибка - брать строки матрицы вместо столбцов, хотя для Ax образ задается столбцами A. Третья ошибка - считать, что если у матрицы много строк, образ автоматически равен всему пространству значений; для этого нужен полный строковый ранг. Еще одна ошибка - проверять совместность Ax=b без вопроса, лежит ли b в образе A.
Практика
Задачи с решением
Найти образ матрицы
Условие. A = [[1,2],[0,0],[0,1]]. Запишите образ A.
Решение. Столбцы c1=(1,0,0), c2=(2,0,1). Они независимы, поэтому Im A = span{(1,0,0),(2,0,1)}.
Ответ. Образ - плоскость span{(1,0,0),(2,0,1)} в R^3
Проверить достижимость правой части
Условие. Для A из задачи выше лежит ли b=(3,0,2) в образе?
Решение. Ищем a(1,0,0)+b(2,0,1)=(3,0,2). Из третьей координаты b=2, из первой a+4=3, значит a=-1. Представление есть.
Ответ. Да, b лежит в образе
Дополнительные источники
- Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, range of a linear map
- Jim Hefferon, Linear Algebra, ranges and column spaces
- 18.06SC Linear Algebra notes, column space
Связанные формулы
Математика
Ранг линейного отображения
Ранг линейного отображения равен размерности его образа. Он показывает, сколько независимых направлений результата реально достижимо.
Математика
Критерий сюръективности линейного отображения через образ
Линейное отображение сюръективно, если его образ совпадает со всем пространством значений. В матричном языке это означает полный строковый ранг.
Математика
Теорема о ранге и дефекте
Теорема о ранге и дефекте говорит, что размерность исходного пространства равна сумме размерности образа и размерности ядра линейного отображения.