Линейная алгебра
Смена базиса
Матрицы перехода, перевод координат между базисами и преобразование матриц операторов.
6 формул
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Матрица базиса и стандартные координаты | $v=P_B[v]_B,\quad P_B=[e_1\ \cdots\ e_n]$ | Матрицы, определители | Матрица базиса переводит координатный столбец в выбранном базисе в стандартные координаты. Ее столбцы - это сами базисные векторы, записанные в стандартной системе. |
| Переход координат между базисами | $[v]_C=P_C^{-1}P_B[v]_B$ | Матрицы, определители | Переход координат между базисами переводит координатный столбец одного и того же вектора из базиса B в базис C. Сам вектор не меняется, меняется только его числовое описание. |
| Матрица оператора при смене базиса | $[T]_C=S^{-1}[T]_B S,\quad [v]_B=S[v]_C$ | Матрицы, определители | При смене базиса матрица одного и того же линейного оператора меняется по формуле подобия. Это позволяет описывать один оператор разными матрицами без изменения самого действия на пространстве. |
| Матрица линейного отображения в произвольных базисах | $[T(v)]_C=A_{C\leftarrow B}[v]_B,\quad A_{C\leftarrow B}=\big[[T(b_1)]_C\ \cdots\ [T(b_n)]_C\big]$ | Матрицы, определители | Матрица отображения в базисах B и C переводит координаты входного вектора в базисе B в координаты его образа в базисе C. Ее столбцы - координаты образов базисных векторов. |
| Тождественное линейное отображение и единичная матрица | $\operatorname{Id}_V(v)=v,\quad [\operatorname{Id}_V]_{B\leftarrow B}=I_n$ | Матрицы, определители | Тождественное отображение оставляет каждый вектор без изменения. В одном и том же базисе его матрица равна единичной матрице I_n. |
| Матрица диагонализируемого оператора в собственном базисе | $[T]_B=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ | Матрицы, определители | Если B - базис из собственных векторов оператора T, то матрица T в этом базисе диагональна. На диагонали стоят собственные значения, соответствующие векторам базиса. |