Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Матрица оператора при смене базиса

При смене базиса матрица одного и того же линейного оператора меняется по формуле подобия. Это позволяет описывать один оператор разными матрицами без изменения самого действия на пространстве.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебраБазисСмена базисаЛинейные отображенияМатрицы

Формула

$$[T]_C=S^{-1}[T]_B S,\quad [v]_B=S[v]_C$$
similarity-diagram Смена базиса как путь C -> B -> B -> C

Диаграмма показывает перевод входных координат в старый базис, применение оператора и возврат результата в новый базис.

Порядок S^{-1}AS отражает порядок действий над координатами.

Обозначения

$[T]_B$
матрица оператора T в базисе B, матрица
$[T]_C$
матрица того же оператора T в базисе C, матрица
$S$
матрица перехода от координат в C к координатам в B, обратимая матрица
$[v]_B=S[v]_C$
соглашение о направлении матрицы перехода, координатное равенство

Условия применения

  • T должен быть линейным оператором из V в V, то есть область и пространство значений совпадают.
  • B и C должны быть базисами одного и того же конечномерного пространства V.
  • Матрица S должна быть обратимой и ее направление должно быть явно согласовано с формулой.

Ограничения

  • Для отображения V -> W с разными базисами в области и значениях используется более общая формула с двумя матрицами перехода.
  • Если перепутать направление S, получится обратная формула и неверная матрица оператора.
  • Подобие сохраняет след, определитель и собственные значения, но не означает, что матрицы одинаковы по элементам.

Подробное объяснение

Матрица линейного оператора зависит от базиса, потому что она работает с координатами. Если координаты вектора записаны в базисе C, а известная матрица оператора A=[T]_B работает с координатами в базисе B, нужно сначала перевести координаты входа из C в B. Это делает S: [v]_B=S[v]_C. Затем применяется оператор в старом базисе: [T(v)]_B=A[v]_B=AS[v]_C. После этого результат нужно вернуть в координаты C, то есть умножить на S^{-1}. Получается [T(v)]_C=S^{-1}AS[v]_C.

Формула называется преобразованием подобия. Она не меняет оператор, а меняет его матричное представление. Поэтому сохраняются свойства, которые относятся к самому оператору: определитель, след, характеристический многочлен, собственные значения. Но отдельные элементы матрицы могут сильно измениться, потому что они описывают действие оператора на другом координатном языке.

Практический смысл формулы особенно виден при диагонализации. Если удается выбрать базис из собственных векторов, матрица оператора становится диагональной: действие на каждое базисное направление сводится к умножению на свое число. Сложная матрица в стандартном базисе может оказаться простой матрицей в собственном базисе.

При работе с этой формулой важнее всего явно подписывать направление матрицы перехода. Если S переводит координаты из C в B, используется S^{-1}AS. Если S переводит из B в C, запись будет другой. Поэтому хороший расчет начинается не с запоминания порядка множителей, а с фразы, что именно делает S.

Как пользоваться формулой

  1. Зафиксируйте старый базис B и новый базис C.
  2. Запишите матрицу перехода S так, чтобы [v]_B=S[v]_C.
  3. Проверьте, что S обратима.
  4. Вычислите [T]_C=S^{-1}[T]_B S.
  5. Проверьте результат на одном тестовом векторе, если есть сомнения в направлении перехода.

Историческая справка

Формула подобия выросла из матричного описания линейных преобразований и задачи привести матрицу к более простому виду. В XIX веке развивались теория матриц, инварианты, характеристические уравнения и идеи нормальных форм. Позднее в линейной алгебре стало стандартным различать оператор как геометрический объект и его матрицу как координатное представление. Смена базиса объяснила, почему разные матрицы могут иметь одинаковые собственные значения и описывать один и тот же оператор. Эта идея стала центральной для диагонализации, жордановой формы и изучения тех свойств матрицы, которые сохраняются при смене координат. Так матричное вычисление связывается с геометрией самого оператора.

Историческая линия формулы

Преобразование матрицы при смене базиса не имеет одного автора. Его исторический контекст связан с развитием матричной алгебры у Кэли и Сильвестра, теорией инвариантов и последующим оформлением линейных операторов в абстрактных пространствах. В учебнике важно не приписывать формулу одному имени, а объяснить соглашение о направлении S.

Артур Кэли 1821-1895Джеймс Джозеф Сильвестр 1814-1897Герман Грассман 1809-1877

Пример

Пусть в базисе B оператор имеет матрицу A=[[2,0],[0,3]], а новый базис C связан с B матрицей S=[[1,1],[0,1]], где [v]_B=S[v]_C. Тогда S^{-1}=[[1,-1],[0,1]]. Матрица оператора в базисе C равна A_C=S^{-1}AS. Сначала AS=[[2,2],[0,3]], затем S^{-1}AS=[[1,-1],[0,1]][[2,2],[0,3]]=[[2,-1],[0,3]]. Значит в новом базисе тот же оператор записывается матрицей [[2,-1],[0,3]]. Собственные значения 2 и 3 сохранились, потому что смена базиса не меняет оператор, а только координатную запись. По той же причине сохраняются след и определитель.

Частая ошибка

Самая частая ошибка - использовать формулу S A S^{-1} вместо S^{-1} A S без проверки, что именно делает S. Обе записи встречаются в учебниках, потому что авторы по-разному задают направление матрицы перехода. Вторая ошибка - думать, что разные матрицы обязательно задают разные операторы. Если они подобны, это может быть один и тот же оператор в разных базисах. Третья ошибка - применять формулу подобия к прямоугольной матрице отображения между разными пространствами без учета отдельного базиса в области и отдельного базиса в значениях.

Практика

Задачи с решением

Сменить базис оператора

Условие. A=[[1,0],[0,2]], S=[[1,1],[0,1]], [v]_B=S[v]_C. Найдите A_C.

Решение. S^{-1}=[[1,-1],[0,1]]. AS=[[1,1],[0,2]]. S^{-1}AS=[[1,-1],[0,1]][[1,1],[0,2]]=[[1,-1],[0,2]].

Ответ. A_C=[[1,-1],[0,2]]

Проверить инвариант

Условие. Если A_C=S^{-1}AS, что происходит с det A?

Решение. det(A_C)=det(S^{-1})det(A)det(S)=det(A)/det(S)*det(S)=det(A).

Ответ. Определитель сохраняется.

Дополнительные источники

  • MIT OpenCourseWare 18.06SC, change of basis and similarity
  • Jim Hefferon, Linear Algebra, matrix representations
  • Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, matrices of operators

Связанные формулы

Математика

Переход координат между базисами

$[v]_C=P_C^{-1}P_B[v]_B$

Переход координат между базисами переводит координатный столбец одного и того же вектора из базиса B в базис C. Сам вектор не меняется, меняется только его числовое описание.

Математика

Матричное произведение

$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}$

Матричное произведение строит элемент новой матрицы как скалярное произведение строки первой матрицы и столбца второй. Порядок множителей важен.

Математика

След матрицы

$\operatorname{tr}A=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}$

След квадратной матрицы равен сумме элементов главной диагонали. Он сохраняется при замене базиса и связан с собственными значениями.