Математика / Матрицы, определители

Матричное произведение

Матричное произведение строит элемент новой матрицы как скалярное произведение строки первой матрицы и столбца второй. Порядок множителей важен.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Формула

(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}

Схема Строка на столбец

Каждый элемент AB получается из одной строки A и одного столбца B. Пересечение выбранной строки и столбца задает позицию элемента результата.

Размер результата определяется внешними размерами матриц.

Обозначения

$A$: первая матрица размера n x m, зависит от задачи
$B$: вторая матрица размера m x p, зависит от задачи
$(AB)_{ij}$: элемент произведения в i-й строке и j-м столбце, произведение единиц элементов A и B
$m$: общий размер: число столбцов A и число строк B, шт.

Условия применения

Число столбцов первой матрицы должно совпадать с числом строк второй матрицы.
Элементы должны принадлежать числовому полю или другой алгебраической системе, где определены сложение и умножение.
Порядок множителей фиксирован: AB и BA обычно имеют разный смысл и могут даже иметь разные размеры.

Ограничения

Матричное умножение некоммутативно: в общем случае AB не равно BA.
Если размеры не согласованы, произведение не определено, даже если обе матрицы сами по себе корректны.
При больших матрицах ручное умножение быстро становится громоздким, поэтому нужны алгоритмы, проверка размерностей и контроль ошибок округления.

Подробное объяснение

Матричное произведение устроено так, чтобы матрицы корректно описывали линейные преобразования и системы уравнений. Строка первой матрицы задает набор коэффициентов, столбец второй - набор величин, к которым эти коэффициенты применяются. Их скалярное произведение дает один элемент результата. Поэтому вся матрица AB собирается из множества таких строко-столбцовых произведений.

Если матрица A размера n x m, а матрица B размера m x p, то результат имеет размер n x p. Общий размер m исчезает во внутренней сумме: по нему выполняется сложение произведений. Это похоже на подстановку одной системы линейных комбинаций в другую. Именно поэтому условие согласования размерностей не формальное, а смысловое: выходы одной операции должны быть входами другой.

Некоммутативность возникает из-за того, что строки и столбцы играют разные роли. AB означает: сначала действует B на вектор или набор столбцов, затем A, если смотреть на линейные преобразования справа налево. BA означает другую последовательность и часто даже не определено. В геометрии это видно на поворотах и растяжениях: повернуть, потом растянуть - не всегда то же самое, что растянуть, потом повернуть.

Вычислительно матричное произведение является фундаментальной операцией. На нем держатся методы решения систем, собственные значения, регрессия, компьютерная графика и нейронные сети. Поэтому важно не только знать формулу, но и автоматически проверять размеры, порядок множителей и интерпретацию строк и столбцов.

Как пользоваться формулой

Запишите размеры обеих матриц.
Проверьте, что число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.
Для каждого элемента результата выберите соответствующую строку первой матрицы и столбец второй.
Перемножьте элементы строки и столбца попарно и сложите.
Соберите все элементы в матрицу размера n x p.

Историческая справка

Матрицы появились из задач решения систем линейных уравнений и работы с таблицами коэффициентов. Термин matrix ввел Джеймс Джозеф Сильвестр в XIX веке, а Артур Кэли развил матричную алгебру и показал, что матрицы можно рассматривать как самостоятельные объекты с собственными правилами операций. Правило умножения матриц было выбрано не произвольно: оно согласуется с композицией линейных преобразований и подстановкой систем линейных выражений. Именно поэтому произведение матриц не обязано быть коммутативным. В XX веке матричное умножение стало основой численной линейной алгебры, квантовой механики, компьютерной графики, статистики и вычислительной техники. Сегодня это одна из самых часто выполняемых операций в научных расчетах и машинном обучении.

Историческая линия формулы

Современная матричная алгебра связана прежде всего с Кэли и Сильвестром, но правило произведения опирается на более раннюю практику решения линейных систем и композиции линейных преобразований. Корректно говорить о развитии матричного языка, а не об одном изобретателе формулы.

Пример

Пусть A = [[1, 2], [3, 4]], B = [[5, 6], [7, 8]]. Элемент c11 равен скалярному произведению первой строки A и первого столбца B: 1·5 + 2·7 = 19. Элемент c12: первая строка A и второй столбец B, то есть 1·6 + 2·8 = 22. Элемент c21: 3·5 + 4·7 = 43. Элемент c22: 3·6 + 4·8 = 50. Значит AB = [[19, 22], [43, 50]]. Если поменять порядок, BA получится другим: [[23, 34], [31, 46]]. Это показывает главную особенность матриц: порядок отражает последовательность преобразований, и его нельзя менять без проверки.

Частая ошибка

Частая ошибка - умножать матрицы поэлементно. Матричное произведение не равно [[a11b11, a12b12], ...]; каждый элемент получается суммой произведений строки на столбец. Вторая ошибка - не проверять размерности: матрицу 2 x 3 можно умножить на 3 x 4, но нельзя на 2 x 4 в таком порядке. Третья ошибка - менять порядок множителей, считая, что работает обычное правило ab = ba. Еще одна ошибка - терять смысл последовательности преобразований: если матрицы описывают поворот и масштабирование, порядок операций меняет итоговый результат.

Практика

Задачи с решением

Произведение матрицы на столбец

Условие. Найдите Ax, если A = [[2, 1], [5, -1]], x = [3, 4]^T.

Решение. Первый элемент: 2·3 + 1·4 = 10. Второй элемент: 5·3 + (-1)·4 = 11. Значит Ax = [10, 11]^T.

Ответ. [10, 11]^T

Проверка размерностей

Условие. Можно ли умножить матрицу A размера 3 x 2 на матрицу B размера 4 x 3?

Решение. Для произведения AB число столбцов A должно равняться числу строк B. У A столбцов 2, у B строк 4. Числа не совпадают, значит AB не определено.

Ответ. Нет, произведение AB не определено

Дополнительные источники

MIT OpenCourseWare 18.06SC Linear Algebra, unit on matrix multiplication
OpenStax Precalculus 9.5 Matrices and Matrix Operations
Jim Hefferon, Linear Algebra, chapter Two: Matrices

Связанные формулы

Математика

Определитель матрицы 2x2

$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$

Определитель матрицы 2x2 равен разности произведений диагоналей. Он показывает, во сколько раз линейное преобразование меняет ориентированную площадь.

Математика

Обратная матрица 2x2

$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$

Обратная матрица 2x2 существует только при ненулевом определителе. Она обращает действие исходной матрицы: A^{-1}A = I, то есть возвращает исходный вектор.

Математика

След матрицы

$\operatorname{tr}A=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}$

След квадратной матрицы равен сумме элементов главной диагонали. Он сохраняется при замене базиса и связан с собственными значениями.