Математический анализ: алгебра выражений

Дробные выражения

Формулы, где важны дроби, знаменатели, области определения и преобразование частных.

11 формул

Таблица формул

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Дробь как часть целого	$\frac{m}{n}=m\cdot\frac{1}{n}$	Обыкновенные дроби, смешанные числа	Обыкновенная дробь m/n показывает m равных частей целого, если целое разделено на n одинаковых частей, и помогает записывать доли величин, которые нельзя удобно выразить только целыми числами.
Нахождение части числа по дроби	$\text{часть}=A\cdot\frac{m}{n}=A:n\cdot m$	Обыкновенные дроби, смешанные числа	Чтобы найти дробь от числа, можно разделить число на знаменатель и умножить результат на числитель, сохраняя смысл равных долей целого и единицы исходной величины.
Нахождение числа по его дроби	$A=\text{часть}:m\cdot n$	Обыкновенные дроби, смешанные числа	Чтобы найти целое по известной дробной части, нужно известную часть разделить на числитель и умножить на знаменатель дроби; это обратная задача к нахождению доли.
Процент как сотая часть числа	$p\%=\frac{p}{100}$	Проценты, процентное изменение	Процент означает сотую часть: p процентов равны дроби p/100 от выбранного целого, поэтому проценты можно переводить в дроби, сравнивать доли и решать практические задачи.
Процент от числа	$\text{часть}=A\cdot\frac{p}{100}$	Проценты, процентное изменение	Чтобы найти p процентов от числа A, нужно перевести процент в дробь p/100 и умножить на A, то есть найти нужное количество сотых долей от выбранного целого.
Наименьшее общее кратное	$\operatorname{lcm}(a,b)=\prod p_i^{\max(\alpha_i,\beta_i)}$	Арифметика и теория чисел	Наименьшее общее кратное двух чисел равно произведению всех простых множителей из разложений, взятых в больших степенях.
Сокращение дроби по НОД	$\frac{a}{b}=\frac{a:d}{b:d},\quad d=\gcd(a,b)$	Обыкновенные дроби, смешанные числа	Чтобы сократить дробь максимально, числитель и знаменатель делят на их наибольший общий делитель, сохраняя значение дроби и получая несократимую запись.
Приведение дробей к общему знаменателю	$\frac{a}{m}=\frac{a\cdot(k/m)}{k},\quad \frac{b}{n}=\frac{b\cdot(k/n)}{k},\quad k=\operatorname{lcm}(m,n)$	Обыкновенные дроби, смешанные числа	Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, обычно берут НОК знаменателей и домножают числители на дополнительные множители.
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями	$\frac{a}{m}\pm\frac{b}{n}=\frac{a\cdot(k/m)\pm b\cdot(k/n)}{k},\quad k=\operatorname{lcm}(m,n)$	Обыкновенные дроби, смешанные числа	Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, их приводят к общему знаменателю, а затем выполняют действие с числителями.
Умножение обыкновенных дробей	`\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d},\quad b\ne0,\;d\ne0`	Обыкновенные дроби, смешанные числа	При умножении обыкновенных дробей перемножают числители и знаменатели, а затем при возможности сокращают результат до несократимой дроби.
Правило частного производных	$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$	Пределы, ряды	Производная частного равна разности двух вкладов в числителе, деленной на квадрат знаменателя: меняется числитель и меняется знаменатель.