Математика / Обыкновенные дроби, смешанные числа

Умножение обыкновенных дробей

При умножении обыкновенных дробей перемножают числители и знаменатели, а затем при возможности сокращают результат до несократимой дроби.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Школьная программа Формулы по математике за 6 класс Арифметика Дробные выражения Калькулятор Есть историческая справка

Формула

\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d},\quad b\ne0,\;d\ne0

Схема Доля от доли

Произведение дробей можно видеть как часть от части.

Обозначения

a, c: числители умножаемых дробей, числа
b, d: знаменатели умножаемых дробей, ненулевые числа
$a·c / b·d$: произведение дробей, дробь

Условия применения

Знаменатели дробей не равны нулю.
Дроби можно быть правильными, неправильными или смешанными после перевода в неправильные.
Перед или после умножения можно сокращать общие множители числителей и знаменателей.

Ограничения

При умножении дробей не нужен общий знаменатель.
Смешанные числа перед умножением обычно переводят в неправильные дроби.
Если заранее сокращать перекрестные множители, нужно сокращать именно множители, а не слагаемые.

Подробное объяснение

Умножение дробей можно понимать как нахождение части от части. Если взять 1/2 от 1/3 прямоугольника, получится 1/6: целое сначала делят на три части, а затем одну из этих частей делят пополам. Поэтому знаменатели перемножаются: каждый этап деления уточняет размер доли. Числители показывают, сколько таких долей берут.

Формула работает для любых обыкновенных дробей с ненулевыми знаменателями. Общий знаменатель не нужен, потому что мы не складываем доли одного размера, а последовательно масштабируем величину. После умножения дробь часто сокращают, чтобы получить более простую запись.

В 6 классе полезно сокращать до умножения, если видны общие множители в числителях и знаменателях. Это уменьшает числа и снижает риск ошибок. Например, в произведении 8/15 · 5/12 можно сократить 8 и 12 на 4, а 5 и 15 на 5, после чего вычисления становятся намного проще. При этом важно сокращать множители, а не отдельные части суммы.

Как пользоваться формулой

Если есть смешанные числа, переведите их в неправильные дроби.
При желании сократите общие множители числителей и знаменателей.
Перемножьте числители и отдельно перемножьте знаменатели.
Сократите полученную дробь и выделите целую часть, если нужно.

Историческая справка

Умножение дробей развивалось из задач на части величин, площади и пропорциональные расчеты. Когда нужно было взять часть от уже имеющейся части, простого сложения долей было недостаточно. Постепенно сформировалось правило перемножения числителей и знаменателей, которое удобно записывает последовательное деление целого на доли.

В школьной традиции это правило связывает арифметику с геометрической моделью площади. Прямоугольник, разделенный по горизонтали и вертикали, показывает, почему при умножении дробей возникают произведения числителей и знаменателей. В 6 классе такая модель помогает увидеть смысл формулы, а не только запомнить алгоритм. Позже тот же принцип используется в рациональных выражениях и вероятностных задачах.

Историческая линия формулы

У правила умножения дробей нет единственного автора. Оно сформировалось в практической арифметике долей, площадей и измерений, а современная запись является стандартной школьной формой этого общего правила для частей величин.

Пример

Вычислим 3/4 · 5/6. По правилу перемножаем числители и знаменатели: 3 · 5 / (4 · 6) = 15/24. Дробь можно сократить на 3: 15/24 = 5/8. Можно было сократить заранее: 3 и 6 имеют общий делитель 3, поэтому 3/6 заменяем на 1/2, и получаем 1 · 5 / (4 · 2) = 5/8. Оба способа дают один результат. Смысл задачи можно понимать как 3/4 от 5/6 или как площадь прямоугольника со сторонами 3/4 и 5/6 единицы. Общий знаменатель здесь не нужен, потому что выполняется не сложение, а последовательное взятие доли от доли.

Частая ошибка

Частая ошибка - искать общий знаменатель, хотя для умножения он не нужен. Вторая ошибка - умножать числитель первой дроби на знаменатель второй и наоборот, как будто это пропорция. Третья ошибка - забывать сокращать результат или сокращать неправильно. Еще одна ошибка - умножать смешанные числа как целую и дробную части отдельно, не переводя их в неправильные дроби.

Практика

Задачи с решением

Произведение дробей

Условие. Вычислите 2/3 · 9/10.

Решение. Можно сократить 9 и 3 на 3: получаем 2/1 · 3/10 = 6/10 = 3/5.

Ответ. 3/5

Часть от части

Условие. Найдите 3/5 от 10/12 метра.

Решение. 3/5 · 10/12. Сократим 10 и 5 на 5: 3 · 2 / 12 = 6/12 = 1/2 метра.

Ответ. 1/2 м

Калькулятор

Посчитать по формуле

acbd

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

OpenStax Prealgebra 2e: Multiply fractions

Связанные формулы

Математика

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

$\frac{a}{m}\pm\frac{b}{n}=\frac{a\cdot(k/m)\pm b\cdot(k/n)}{k},\quad k=\operatorname{lcm}(m,n)$

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, их приводят к общему знаменателю, а затем выполняют действие с числителями.

Математика

Сокращение дроби по НОД

$\frac{a}{b}=\frac{a:d}{b:d},\quad d=\gcd(a,b)$

Чтобы сократить дробь максимально, числитель и знаменатель делят на их наибольший общий делитель, сохраняя значение дроби и получая несократимую запись.

Математика

Нахождение части числа по дроби

$\text{часть}=A\cdot\frac{m}{n}=A:n\cdot m$

Чтобы найти дробь от числа, можно разделить число на знаменатель и умножить результат на числитель, сохраняя смысл равных долей целого и единицы исходной величины.