Аналитическая геометрия
Прямые и плоскости
Формулы для уравнений прямых и плоскостей, нормалей, расстояний, углов и взаимного положения.
17 формул
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Уравнение плоскости по точке и нормали | $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$ | Прямые, плоскости | Уравнение плоскости по точке и нормали: формула A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 помогает записать уравнение геометрического объекта по заданным параметрам. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Расстояние от точки до плоскости | $d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ | Прямые, плоскости | Расстояние от точки до плоскости равно модулю подстановки координат точки в уравнение плоскости, деленному на длину нормального вектора плоскости. |
| Угол между двумя плоскостями | $\cos\varphi=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}$ | Прямые, плоскости | Угол между двумя плоскостями: формула \cos\varphi=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|} помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется найти угол через векторы, нормали или направляющие. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Угол между прямой и плоскостью | $\sin\alpha=\frac{|\vec n\cdot\vec v|}{|\vec n||\vec v|}$ | Прямые, плоскости | Угол между прямой и плоскостью: формула \sin\alpha=\frac{|\vec n\cdot\vec v|}{|\vec n||\vec v|} помогает найти угол через векторы, нормали или направляющие. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Параметрическое уравнение прямой в пространстве | $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{array}\right.$ | Прямые, плоскости | Параметрическое уравнение прямой в пространстве: формула \left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{array}\right. помогает записать уравнение геометрического объекта по заданным параметрам. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Расстояние от точки до прямой в пространстве | $d=\frac{|(\vec r_0-\vec r_1)\times\vec v|}{|\vec v|}$ | Прямые, плоскости | Расстояние от точки до прямой в пространстве: формула d=\frac{|(\vec r_0-\vec r_1)\times\vec v|}{|\vec v|} помогает найти расстояние по координатам, точке, прямой или плоскости. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Уравнение плоскости через три точки через определитель | $\left|\begin{matrix}x & y & z & 1\\x_1 & y_1 & z_1 & 1\\x_2 & y_2 & z_2 & 1\\x_3 & y_3 & z_3 & 1\end{matrix}\right|=0$ | Прямые, плоскости | Уравнение плоскости через три неколлинеарные точки получают из равенства нулю определителя, составленного по координатам этих точек и произвольной точки плоскости. |
| Нормаль плоскости через векторное произведение | $\vec n=(\overrightarrow{AB})\times(\overrightarrow{AC})$ | Прямые, плоскости | Нормаль к плоскости можно найти как векторное произведение двух неколлинеарных направлений, лежащих в этой плоскости. Она нужна для построения уравнений плоскостей, расстояний и углов в пространственных координатных задачах. |
| Параметр пересечения прямой и плоскости | $t= -\frac{A x_0+B y_0+C z_0+D}{A l + B m + C n},\quad x=x_0+lt,\ y=y_0+mt,\ z=z_0+nt$ | Прямые, плоскости | Формула "Параметр пересечения прямой и плоскости" описывает взаимное положение прямых, плоскостей и точек в пространстве через координаты, векторы и ортогональные построения. |
| Направляющий вектор линии пересечения двух плоскостей | $\vec d = \vec n_1 \times \vec n_2$ | Прямые, плоскости | Формула "Направляющий вектор линии пересечения двух плоскостей" описывает взаимное положение прямых, плоскостей и точек в пространстве через координаты, векторы и ортогональные построения. |
| Угол между прямыми в пространстве | $\cos\varphi = \frac{|\vec u\cdot\vec v|}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}$ | Прямые, плоскости | Формула "Угол между прямыми в пространстве" описывает взаимное положение прямых, плоскостей и точек в пространстве через координаты, векторы и ортогональные построения. |
| Расстояние между скрещивающимися прямыми | $d=\frac{|(\vec p_2-\vec p_1)\cdot(\vec u\times\vec v)|}{\|\vec u\times\vec v\|}$ | Прямые, плоскости | Расстояние между скрещивающимися прямыми равно модулю смешанного произведения соединяющего вектора и двух направлений, деленному на длину их векторного произведения. |
| Расстояние между параллельными плоскостями | $d=\frac{|D_2-D_1|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},\quad Ax+By+Cz+D_1=0,\ Ax+By+Cz+D_2=0$ | Прямые, плоскости | Если две плоскости параллельны и приведены к одной нормали, расстояние между ними равно модулю разности свободных членов, деленному на длину нормали. |
| Проекция точки на плоскость | $t=-\frac{A x_0+B y_0+C z_0+D}{A^2+B^2+C^2},\quad x'=x_0+tA,\ y'=y_0+tB,\ z'=z_0+tC$ | Прямые, плоскости | Формула "Проекция точки на плоскость" описывает взаимное положение прямых, плоскостей и точек в пространстве через координаты, векторы и ортогональные построения. |
| Отражение точки относительно плоскости | $P''=P-2\frac{A x_0+B y_0+C z_0+D}{A^2+B^2+C^2}(A,B,C)$ | Прямые, плоскости | Формула "Отражение точки относительно плоскости" описывает взаимное положение прямых, плоскостей и точек в пространстве через координаты, векторы и ортогональные построения. |
| Проекция точки на прямую в пространстве | $t=\frac{(\vec P-\vec P_0)\cdot\vec v}{\|\vec v\|^2},\quad \vec P' = \vec P_0+t\vec v$ | Прямые, плоскости | Формула "Проекция точки на прямую в пространстве" описывает взаимное положение прямых, плоскостей и точек в пространстве через координаты, векторы и ортогональные построения. |
| Касательная плоскость к сфере | $(x_1-x_0)(x-x_1)+(y_1-y_0)(y-y_1)+(z_1-z_0)(z-z_1)=0$ | Прямые, плоскости | Касательная плоскость к сфере в точке P перпендикулярна радиусу CP, поэтому ее нормалью служит вектор от центра к точке касания. |