Математика / Обыкновенные дроби, смешанные числа

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, их приводят к общему знаменателю, а затем выполняют действие с числителями.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Школьная программа Формулы по математике за 6 класс Арифметика Дробные выражения Калькулятор Есть историческая справка

Формула

\frac{a}{m}\pm\frac{b}{n}=\frac{a\cdot(k/m)\pm b\cdot(k/n)}{k},\quad k=\operatorname{lcm}(m,n)

Обозначения

$a/m, b/n$: дроби с ненулевыми знаменателями, дроби
$k$: общий знаменатель, обычно НОК(m,n), число
$±$: сложение или вычитание, арифметическое действие

Условия применения

Знаменатели дробей не равны нулю.
Перед сложением или вычитанием дроби приведены к общему знаменателю.
После действия результат при необходимости сокращают.

Ограничения

Нельзя складывать знаменатели дробей.
Если есть смешанные числа, их часто сначала переводят в неправильные дроби или работают отдельно с целыми частями.
При вычитании нужно следить за порядком числителей после приведения.

Подробное объяснение

Дроби можно складывать и вычитать напрямую только тогда, когда их знаменатели одинаковые. Одинаковый знаменатель означает, что целое разделено на равные части одного размера. Тогда числители можно сложить или вычесть как количество одинаковых долей. Если знаменатели разные, доли имеют разный размер, поэтому сначала нужен общий знаменатель.

Наименьший удобный общий знаменатель обычно равен НОК исходных знаменателей. После приведения дробей к знаменателю k числители меняются через дополнительные множители. Только после этого выполняется сложение или вычитание числителей. Знаменатель при этом остается общим, потому что размер долей не меняется во время действия.

В 6 классе полезно постоянно связывать правило с рисунком долей. Если одна дробь выражена в четвертях, а другая в шестых, их переводят в двенадцатые. Тогда становится видно, что складываются одинаковые части. После ответа нужно проверить, можно ли сократить дробь по НОД числителя и знаменателя.

Как пользоваться формулой

Найдите НОК знаменателей.
Приведите каждую дробь к общему знаменателю.
Сложите или вычтите новые числители, знаменатель оставьте общим.
Сократите результат, если числитель и знаменатель имеют общий делитель.

Историческая справка

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями исторически связано с задачами на меры и доли: складывали части земли, товара, времени, веса и денег. Разные доли нужно было приводить к общей мере, иначе результат нельзя было осмысленно записать. Поэтому общий знаменатель стал одним из главных приемов арифметики дробей.

В школьном курсе 6 класса это правило соединяет несколько тем: доля целого, НОК, основное свойство дроби и сокращение. Исторически такая связка возникла из практики вычислений, а современная буквенная запись делает ее универсальной. Теперь одно правило подходит и для простых бытовых задач, и для будущих алгебраических дробей.

Историческая линия формулы

У правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями нет одного автора. Оно развивалось в практической арифметике дробей и стало стандартным учебным правилом благодаря идее общей меры, общего знаменателя и равных долей.

Пример

Вычислим 5/12 + 7/18. Общий знаменатель равен НОК(12,18) = 36. Приводим дроби: 5/12 = 15/36, 7/18 = 14/36. Теперь знаменатели одинаковые, поэтому складываем числители: 15/36 + 14/36 = 29/36. Дробь 29/36 несократима, потому что 29 не имеет общих делителей с 36. Важно, что знаменатель остался 36, а не стал 72. Он показывает размер долей, а числитель показывает, сколько таких долей получилось после сложения. Если бы задача была на вычитание, порядок новых числителей нужно было бы сохранить и отдельно проверить знак результата.

Частая ошибка

Частая ошибка - сложить знаменатели: 5/12 + 7/18 нельзя превращать в 12/30. Вторая ошибка - привести к общему знаменателю, но не изменить числители. Третья ошибка - забыть сократить результат, если это возможно. Еще одна ошибка при вычитании - перепутать порядок числителей после приведения, особенно если первая дробь меньше второй и результат должен быть отрицательным или задача требует перестановки.

Практика

Задачи с решением

Сложение дробей

Условие. Вычислите 3/8 + 5/12.

Решение. НОК(8,12) = 24. 3/8 = 9/24, 5/12 = 10/24. Сумма равна 19/24.

Ответ. 19/24

Вычитание дробей

Условие. Вычислите 7/10 - 1/4.

Решение. НОК(10,4) = 20. 7/10 = 14/20, 1/4 = 5/20. Разность равна 9/20.

Ответ. 9/20

Калькулятор

Посчитать по формуле

abk

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

OpenStax Prealgebra 2e: Add and subtract fractions with different denominators

Связанные формулы

Математика

Приведение дробей к общему знаменателю

$\frac{a}{m}=\frac{a\cdot(k/m)}{k},\quad \frac{b}{n}=\frac{b\cdot(k/n)}{k},\quad k=\operatorname{lcm}(m,n)$

Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, обычно берут НОК знаменателей и домножают числители на дополнительные множители.

Математика

Наименьшее общее кратное

$\operatorname{lcm}(a,b)=\prod p_i^{\max(\alpha_i,\beta_i)}$

Наименьшее общее кратное двух чисел равно произведению всех простых множителей из разложений, взятых в больших степенях.

Математика

Сокращение дроби по НОД

$\frac{a}{b}=\frac{a:d}{b:d},\quad d=\gcd(a,b)$

Чтобы сократить дробь максимально, числитель и знаменатель делят на их наибольший общий делитель, сохраняя значение дроби и получая несократимую запись.