Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Матрица диагонализируемого оператора в собственном базисе

Если B - базис из собственных векторов оператора T, то матрица T в этом базисе диагональна. На диагонали стоят собственные значения, соответствующие векторам базиса.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебраСмена базиса

Формула

$$[T]_B=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$$
operator-in-eigenbasis Столбцы матрицы в собственном базисе

Схема показывает, что T(v_i) имеет координаты только вдоль v_i, поэтому внедиагональные элементы равны нулю.

Диагональная матрица появляется потому, что собственные базисные векторы не смешиваются.

Обозначения

$T$
линейный оператор V -> V, оператор
$B=(v_1,...,v_n)$
собственный базис оператора T, базис
$[T]_B$
матрица оператора T в базисе B, матрица n x n
$\lambda_i$
собственное значение для v_i, число

Условия применения

  • B должен быть базисом всего пространства V.
  • Каждый v_i должен быть собственным вектором T.
  • Порядок диагональных элементов должен соответствовать порядку векторов в B.

Ограничения

  • Если B не является полным базисом, матрицу всего оператора в B записать нельзя.
  • Если среди векторов B есть не собственный вектор, матрица не будет диагональной.
  • Диагональная форма зависит от порядка собственного базиса: перестановка векторов переставляет диагональные элементы.

Подробное объяснение

Матрица оператора в базисе строится по столбцам: j-й столбец - это координаты T(v_j) в том же базисе. Если v_j собственный, то T(v_j)=lambda_j v_j. Координаты этого вектора в B имеют lambda_j на j-м месте и нули в остальных позициях. Поэтому каждый столбец диагональной матрицы содержит только один ненулевой элемент.

Эта формула показывает концептуальный смысл A=PDP^{-1}. Матрица D - это [T]_B в собственном базисе. Матрица A - это [T] в исходном базисе. Матрица P переводит координаты из B в исходный базис. Поэтому диагонализация является частным случаем общей формулы смены базиса для матрицы оператора.

Если собственный базис существует, оператор распадается на независимые одномерные действия. Каждая координата вдоль v_i умножается на lambda_i и не смешивается с другими координатами. Именно поэтому диагональная форма так удобна для степеней, функций от матрицы и анализа динамики.

Если базиса из собственных векторов нет, попытка построить такую диагональную матрицу проваливается: некоторые столбцы невозможно сделать чисто координатными осями. Тогда появляются недиагональные блоки или другая форма описания оператора.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте, что B состоит из собственных векторов T.
  2. Убедитесь, что B является базисом пространства.
  3. Для каждого v_i запишите T(v_i)=lambda_i v_i.
  4. Поставьте lambda_i на i-е место диагонали.
  5. Используйте полученную D как матрицу T в собственном базисе.

Историческая справка

Понимание диагонализации как смены базиса стало возможным после объединения двух идей: матрица представляет линейный оператор в выбранном базисе, а собственные векторы дают направления, сохраняемые оператором. В XIX веке матричная алгебра и теория линейных подстановок постепенно привели к этому взгляду. Нормальные формы Жордана затем показали, что диагональная матрица является лучшим простым случаем, но не универсальным. В современном курсе формула [T]_B=diag(lambda_i) закрепляет главный смысл диагонализации: выбрать координаты, в которых оператор не смешивает компоненты.

В XIX веке диагонализация выросла из задач о приведении линейных преобразований и квадратичных форм к более простому виду. Смысл был не в красивой записи ради записи, а в том, чтобы заменить связанную систему координат независимыми направлениями. Позже тот же язык стал базовым для дифференциальных уравнений, механики, статистики и численных методов. Поэтому страница "Матрица диагонализируемого оператора в собственном базисе" находится на границе между абстрактной алгеброй и вычислительной практикой: она объясняет, когда сложный оператор можно читать как набор независимых масштабирований.

Историческая линия формулы

Матрица оператора в собственном базисе является современной координатной формулировкой диагонализации. Исторически она связана с матричной алгеброй, собственными значениями и нормальными формами, где важны Кэли, Сильвестр, Фробениус и Жордан.

Артур Кэли 1821-1895Джеймс Джозеф Сильвестр 1814-1897Фердинанд Георг Фробениус 1849-1917Камиль Жордан 1838-1922

Пример

Пусть оператор T на R^2 имеет собственные векторы v1=(1,1), v2=(1,-1), причем T(v1)=3v1, T(v2)=1v2. В базисе B=(v1,v2) первый столбец матрицы [T]_B - это координаты T(v1)=3v1, то есть (3,0)^T. Второй столбец - координаты T(v2)=1v2, то есть (0,1)^T. Поэтому [T]_B=[[3,0],[0,1]]. В стандартном базисе матрица оператора может иметь недиагональный вид, например [[2,1],[1,2]], но в собственном базисе она становится диагональной. Это и есть смысл диагонализации. Дополнительная проверка для этой страницы: после преобразования нужно перемножить матрицы обратно и убедиться, что получается исходный оператор. Для темы "Матрица диагонализируемого оператора в собственном базисе" это особенно полезно, потому что диагональная форма часто выглядит убедительно сама по себе, но ошибка в порядке базисных векторов или в одном собственном значении сразу ломает равенство. В учебной задаче удобно отдельно выписать матрицу перехода, диагональную матрицу и обратную матрицу перехода, а затем проверить хотя бы один столбец произведения. Такой контроль показывает не только численный ответ, но и то, какие направления пространства стали главными.

Частая ошибка

Частая ошибка - думать, что диагональная матрица возникает только после вычисления P^{-1}AP. На уровне оператора достаточно понять, что базис состоит из собственных векторов: столбцы сразу становятся диагональными. Вторая ошибка - перепутать координаты T(v_i) в исходном базисе и в собственном базисе. Третья ошибка - менять порядок B и не менять порядок диагонали. Еще одна ошибка - забывать, что одна и та же T может иметь разные матрицы в разных базисах.

Практика

Задачи с решением

Записать матрицу в собственном базисе

Условие. B=(v1,v2,v3), T(v1)=2v1, T(v2)=-v2, T(v3)=5v3. Найдите [T]_B.

Решение. Каждый базисный вектор умножается на свое lambda, поэтому матрица диагональна.

Ответ. [T]_B=diag(2,-1,5).

Понять перестановку базиса

Условие. Если порядок базиса поменять на (v3,v1,v2), какой станет диагональ?

Решение. Диагональ следует порядку базиса: для v3 значение 5, для v1 значение 2, для v2 значение -1.

Ответ. diag(5,2,-1).

Дополнительные источники

  • MIT OpenCourseWare 18.06SC, diagonalization as change of basis
  • Jim Hefferon, Linear Algebra, matrix representation in eigenbasis
  • TUDelft Interactive Linear Algebra, diagonalization

Связанные формулы

Математика

Базис из собственных векторов

$B=(v_1,\ldots,v_n),\quad Av_i=\lambda_i v_i$

Базис из собственных векторов - это базис пространства, каждый вектор которого является собственным для оператора A. В таком базисе матрица оператора становится диагональной.

Математика

Матрица оператора при смене базиса

$[T]_C=S^{-1}[T]_B S,\quad [v]_B=S[v]_C$

При смене базиса матрица одного и того же линейного оператора меняется по формуле подобия. Это позволяет описывать один оператор разными матрицами без изменения самого действия на пространстве.

Математика

Диагонализация матрицы

$A=PDP^{-1}$

Диагонализация представляет квадратную матрицу A в виде A=PDP^{-1}, где D диагональна, а столбцы P являются собственными векторами A. Это переводит действие оператора в собственный базис.

Математика

Матрица линейного отображения в произвольных базисах

$[T(v)]_C=A_{C\leftarrow B}[v]_B,\quad A_{C\leftarrow B}=\big[[T(b_1)]_C\ \cdots\ [T(b_n)]_C\big]$

Матрица отображения в базисах B и C переводит координаты входного вектора в базисе B в координаты его образа в базисе C. Ее столбцы - координаты образов базисных векторов.