Диагонализация матрицы

Как пользоваться формулой

1. Найдите собственные значения матрицы A.
2. Для каждого собственного значения найдите базис собственного пространства.
3. Проверьте, что всего найдено n линейно независимых собственных векторов.
4. Соберите эти векторы столбцами в P.
5. Поставьте соответствующие собственные значения на диагональ D в том же порядке.

Историческая справка

Диагонализация выросла из задач о собственных направлениях, характеристических корнях и нормальных формах линейных преобразований. В XIX веке матричная алгебра Кэли и Сильвестра дала удобный язык для подобных преобразований, а изучение линейных подстановок привело к вопросу: когда оператор можно привести к простой диагональной форме. Камиль Жордан показал более общую картину: если собственных векторов не хватает, диагональная форма заменяется блочной нормальной формой. Поэтому диагонализация является не изолированным приемом, а частью истории классификации линейных операторов по их собственным направлениям и характеристическим данным.

В XIX веке диагонализация выросла из задач о приведении линейных преобразований и квадратичных форм к более простому виду. Смысл был не в красивой записи ради записи, а в том, чтобы заменить связанную систему координат независимыми направлениями. Позже тот же язык стал базовым для дифференциальных уравнений, механики, статистики и численных методов. Поэтому страница "Диагонализация матрицы" находится на границе между абстрактной алгеброй и вычислительной практикой: она объясняет, когда сложный оператор можно читать как набор независимых масштабирований.

Пример

Пусть A=[[2,1],[1,2]]. Собственные значения равны 3 и 1. Для lambda=3 можно взять v1=(1,1)^T, для lambda=1 - v2=(1,-1)^T. Собираем P=[[1,1],[1,-1]], а D=diag(3,1). Тогда AP=PD, потому что A умножает первый столбец P на 3, а второй на 1. Из AP=PD и обратимости P получаем A=PDP^{-1}. Проверка: P^{-1}=(1/(-2))[[-1,-1],[-1,1]]=[[1/2,1/2],[1/2,-1/2]]. Вычисление PDP^{-1} возвращает [[2,1],[1,2]]. В собственном базисе действие матрицы стало простым: первая координата умножается на 3, вторая на 1. Дополнительная проверка для этой страницы: после преобразования нужно перемножить матрицы обратно и убедиться, что получается исходный оператор. Для темы "Диагонализация матрицы" это особенно полезно, потому что диагональная форма часто выглядит убедительно сама по себе, но ошибка в порядке базисных векторов или в одном собственном значении сразу ломает равенство. В учебной задаче удобно отдельно выписать матрицу перехода, диагональную матрицу и обратную матрицу перехода, а затем проверить хотя бы один столбец произведения. Такой контроль показывает не только численный ответ, но и то, какие направления пространства стали главными.

Частая ошибка

Частая ошибка - поставить собственные значения в D в одном порядке, а собственные векторы в P в другом. Тогда произведение PDP^{-1} даст неверную матрицу. Вторая ошибка - использовать зависимые собственные векторы: матрица P должна быть обратимой. Третья ошибка - считать, что наличие n собственных значений с учетом кратности автоматически дает n независимых собственных векторов. При повторных корнях нужно отдельно проверять собственные пространства. Еще одна ошибка - писать D=P^{-1}AP, но затем восстанавливать A как P^{-1}DP вместо PDP^{-1}.