Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Собственное значение и собственный вектор

Собственный вектор матрицы A - это ненулевой вектор, который после умножения на A остается на той же прямой. Собственное значение lambda показывает, во сколько раз этот вектор растягивается, сжимается или меняет направление.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебраСобственные значения и векторыЛинейные операторыМатрица отображения

Формула

$$Av=\lambda v,\quad v\ne0$$
eigenvector-direction Собственное направление сохраняется

Схема показывает несколько стрелок: обычная меняет направление после A, а собственная остается на той же прямой и только масштабируется.

Собственный вектор не обязан сохранять длину, но обязан сохранять направление своей прямой.

Обозначения

$A$
квадратная матрица или матрица линейного оператора, матрица n x n
$v$
собственный вектор, ненулевое направление, вектор
$\lambda$
собственное значение, коэффициент масштабирования, число
$Av$
образ вектора v после применения матрицы A, вектор

Условия применения

  • Матрица A должна быть квадратной, если собственные значения рассматриваются для матрицы.
  • Вектор v обязан быть ненулевым; нулевой вектор не считают собственным, потому что он удовлетворяет Av=lambda v для любого lambda.
  • Собственные значения могут быть комплексными, даже если матрица имеет вещественные элементы.

Ограничения

  • Не каждый ненулевой вектор является собственным: большинство векторов после применения A меняют направление.
  • Наличие собственного значения не гарантирует, что матрица диагонализуема.
  • Для вещественной матрицы без вещественных собственных значений вещественных собственных векторов может не быть, хотя над комплексными числами они появятся.

Подробное объяснение

Формула Av=lambda v говорит, что действие матрицы A на вектор v не выводит его из исходной прямой span(v). Матрица может менять длину, знак и масштаб, но не направление этой прямой. Если lambda положительно, направление сохраняется и масштабируется. Если lambda отрицательно, вектор разворачивается на противоположное направление. Если lambda равно нулю, собственный вектор попадает в ноль, а значит лежит в ядре матрицы.

Собственные значения важны потому, что они превращают многомерное действие в одномерное. Вместо полного перемешивания координат на собственном направлении происходит простое умножение на число. Если удается найти базис из собственных векторов, матрица становится диагональной в этом базисе, а ее степени и функции считаются почти как для чисел.

Алгебраически собственные значения находят не подбором векторов, а через условие (A-lambda I)v=0. Чтобы у этой однородной системы было ненулевое решение, матрица A-lambda I должна быть вырожденной. Поэтому появляется характеристическое уравнение det(A-lambda I)=0 или det(lambda I-A)=0 в зависимости от соглашения.

Геометрически собственные векторы являются направлениями, которые оператор не поворачивает в другое направление. Для диагональной матрицы это координатные оси. Для проекции собственные значения обычно равны 1 на сохраняемом подпространстве и 0 на направлении, которое проекция уничтожает. Для поворота плоскости на 90 градусов вещественных собственных направлений нет: ни одна вещественная прямая не остается на месте.

Как пользоваться формулой

  1. Убедитесь, что рассматривается квадратная матрица или линейный оператор V -> V.
  2. Запишите уравнение Av=lambda v и перенесите все в одну сторону: (A-lambda I)v=0.
  3. Найдите lambda из условия det(A-lambda I)=0 или det(lambda I-A)=0.
  4. Для каждого lambda решите систему (A-lambda I)v=0.
  5. Исключите нулевой вектор и запишите базис собственного пространства.

Историческая справка

Идеи собственных значений появились из задач, где нужно было найти особые направления или особые режимы линейной системы. Такие задачи возникали в механике, колебаниях, астрономии, квадратичных формах, дифференциальных уравнениях и теории упругости. В XIX веке Коши работал с детерминантами, диагонализацией матриц и спектральными вопросами в математической физике; позднее матричный язык Кэли, Сильвестра и Фробениуса сделал запись Av=lambda v естественной для линейной алгебры. Немецкое слово eigen означает собственный или характерный, поэтому в разных традициях встречались термины characteristic roots, proper values и eigenvalues. Современная учебная формула является результатом долгого развития, а не открытия одной страницы учебника.

Историческая линия формулы

У определения собственного значения нет одного автора в современном виде. Корректная историческая связь идет через задачи о характеристических корнях, детерминантах и линейных подстановках: Коши важен для ранней спектральной линии, Кэли и Сильвестр - для матричного языка, Фробениус - для алгебраического изучения линейных подстановок.

Огюстен Луи Коши 1789-1857Артур Кэли 1821-1895Джеймс Джозеф Сильвестр 1814-1897Фердинанд Георг Фробениус 1849-1917

Пример

Пусть A=[[3,0],[0,2]]. Возьмем v1=(1,0)^T. Тогда Av1=(3,0)^T=3v1, значит v1 - собственный вектор с собственным значением 3. Для v2=(0,1)^T получаем Av2=(0,2)^T=2v2, значит v2 - собственный вектор с собственным значением 2. Теперь возьмем w=(1,1)^T. Тогда Aw=(3,2)^T, и этот вектор не равен lambda(1,1)^T ни при каком одном lambda, потому что первая координата потребовала бы lambda=3, а вторая lambda=2. Поэтому w не является собственным вектором. Пример показывает смысл определения: собственные направления сохраняются, а обычные направления обычно сдвигаются в другую сторону.

Частая ошибка

Главная ошибка - забыть условие v != 0 и назвать нулевой вектор собственным. Вторая ошибка - считать lambda собственным вектором, хотя lambda - число, а вектор находится из системы (A-lambda I)v=0. Третья ошибка - думать, что если матрица растягивает один вектор, то она одинаково растягивает все пространство. Собственные значения описывают только специальные направления. Еще одна ошибка - искать собственные значения у прямоугольной матрицы обычным способом, хотя стандартная теория Av=lambda v относится к операторам пространства в себя.

Практика

Задачи с решением

Проверить собственный вектор

Условие. A=[[4,0],[1,2]]. Является ли v=(2,1)^T собственным вектором?

Решение. Считаем Av=(8,4)^T. Если бы v был собственным, нужно было бы (8,4)=lambda(2,1), откуда lambda=4 по обеим координатам. Условие выполняется.

Ответ. Да, v - собственный вектор с lambda=4.

Проверить несобственное направление

Условие. Для A=[[3,0],[0,2]] проверьте w=(1,2)^T.

Решение. Aw=(3,4)^T. Для равенства Aw=lambda w нужно lambda=3 из первой координаты и lambda=2 из второй. Одного lambda нет.

Ответ. w не является собственным вектором.

Дополнительные источники

  • MIT OpenCourseWare 18.06SC, Eigenvalues and Eigenvectors
  • Jim Hefferon, Linear Algebra, Similarity chapter
  • Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, eigenvalues and eigenvectors

Связанные формулы

Математика

Характеристическое уравнение матрицы

$\det(A-\lambda I)=0$

Характеристическое уравнение det(A-lambda I)=0 находит те значения lambda, при которых у системы (A-lambda I)v=0 появляется ненулевое решение. Именно эти lambda являются собственными значениями матрицы.

Математика

Собственное пространство матрицы

$E_\lambda=\ker(A-\lambda I)$

Собственное пространство E_lambda - это множество всех векторов, которые удовлетворяют Av=lambda v, вместе с нулевым вектором. Оно равно ядру матрицы A-lambda I.

Математика

Линейный оператор как квадратная матрица

$T:V\to V,\quad [T]_B=A\in M_n(F),\quad [T(v)]_B=A[v]_B$

Линейный оператор - это линейное отображение пространства в себя. В выбранном базисе конечномерного пространства он записывается квадратной матрицей.

Математика

Характеристический многочлен матрицы 2x2

$p(\lambda)=\lambda^2-\operatorname{tr}(A)\lambda+\det(A)$

Характеристический многочлен матрицы 2x2 выражается через след и определитель. Его корни являются собственными значениями матрицы.