Математика / Матрицы, определители

Характеристический многочлен матрицы 2x2

Характеристический многочлен матрицы 2x2 выражается через след и определитель. Его корни являются собственными значениями матрицы.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Формула

p(\lambda)=\lambda^2-\operatorname{tr}(A)\lambda+\det(A)

Схема След и определитель в многочлене

Для матрицы 2 x 2 след задает коэффициент при lambda, а определитель - свободный член характеристического многочлена.

Корни характеристического многочлена являются собственными значениями.

Обозначения

$p(\lambda)$: характеристический многочлен матрицы A, зависит от lambda
$\lambda$: переменная многочлена; при корне становится собственным значением, масштаб преобразования
$\operatorname{tr}(A)$: след матрицы A, единица элементов матрицы
$\det(A)$: определитель матрицы A, квадрат единицы масштаба

Условия применения

Матрица A должна быть квадратной размера 2 x 2.
Характеристический многочлен строится как det(lambda I - A) или det(A - lambda I); нужно придерживаться выбранного соглашения о знаке.
Для вещественных матриц корни могут быть комплексными, даже если все элементы матрицы вещественные.

Ограничения

Формула именно для матрицы 2 x 2; для большего размера характеристический многочлен имеет более высокую степень.
Наличие собственных значений не гарантирует диагонализуемость: нужны еще достаточные собственные векторы.
При близких корнях численное вычисление собственных значений может быть чувствительным к округлению.

Подробное объяснение

Характеристический многочлен строится для поиска таких чисел lambda, при которых матрица A - lambda I становится вырожденной. Если det(A - lambda I) = 0, то существует ненулевой вектор v, для которого (A - lambda I)v = 0. Это равносильно Av = lambda v, то есть v является собственным вектором, а lambda - собственным значением.

Для матрицы 2 x 2 вычисление приводит к компактной формуле через след и определитель. Если A = [[a, b], [c, d]], то det(lambda I - A) = det([[lambda - a, -b], [-c, lambda - d]]). Раскрытие определителя дает (lambda - a)(lambda - d) - bc = lambda^2 - (a + d)lambda + (ad - bc). Здесь a + d - это след, а ad - bc - определитель.

Эта формула полезна тем, что показывает роль следа и определителя. След равен сумме собственных значений, а определитель - их произведению, если учитывать кратность и комплексные корни. Поэтому по знаку и величине следа и определителя можно быстро получить информацию о поведении преобразования на плоскости.

Однако собственные значения - только часть анализа. Если матрица имеет повторяющееся собственное значение, может оказаться, что собственных векторов недостаточно для диагонализации. Поэтому после нахождения корней характеристического многочлена обычно решают системы (A - lambda I)v = 0 для каждого lambda.

Как пользоваться формулой

Проверьте, что матрица имеет размер 2 x 2.
Вычислите след как сумму диагональных элементов.
Вычислите определитель матрицы.
Подставьте значения в lambda^2 - tr(A)lambda + det(A).
Найдите корни многочлена, если нужны собственные значения.

Историческая справка

Собственные значения возникли из задач, где линейное преобразование сохраняет направление некоторых векторов, меняя только их масштаб. Такие идеи появлялись в механике, теории колебаний, квадратичных формах и дифференциальных уравнениях. Характеристический многочлен стал алгебраическим способом находить эти особые масштабы. В XIX веке развитие матриц, определителей и линейных преобразований подготовило современную запись через det(lambda I - A). В XX веке собственные значения стали одним из центральных инструментов линейной алгебры и прикладной математики: они используются в устойчивости систем, квантовой механике, статистике, численных методах, графах и анализе данных. Формула для 2 x 2 является первым компактным случаем этой большой теории.

Пример

Пусть A = [[4, 2], [1, 3]]. След равен tr(A) = 4 + 3 = 7. Определитель det(A) = 4·3 - 2·1 = 10. Тогда характеристический многочлен p(lambda) = lambda^2 - 7lambda + 10. Раскладываем его на множители: lambda^2 - 7lambda + 10 = (lambda - 5)(lambda - 2). Корни равны 5 и 2, это собственные значения матрицы. Проверим смысл: собственное значение показывает, во сколько раз матрица растягивает соответствующее собственное направление. След равен сумме собственных значений 5 + 2 = 7, а определитель равен их произведению 5·2 = 10. Это не случайность, а общее свойство для матрицы 2 x 2.

Частая ошибка

Частая ошибка - поставить неправильный знак при следе. Для соглашения p(lambda) = det(lambda I - A) формула имеет вид lambda^2 - tr(A)lambda + det(A). Вторая ошибка - считать корни характеристического многочлена собственными векторами; корни являются собственными значениями, а собственные векторы находят отдельно из системы (A - lambda I)v = 0. Третья ошибка - забывать о комплексных корнях. Еще одна ошибка - делать вывод о диагонализуемости только по самому многочлену без проверки собственных пространств.

Практика

Задачи с решением

Характеристический многочлен

Условие. Найдите характеристический многочлен матрицы A = [[2, 1], [0, 3]].

Решение. След равен 2 + 3 = 5. Определитель равен 2·3 - 1·0 = 6. Значит p(lambda) = lambda^2 - 5lambda + 6.

Ответ. lambda^2 - 5lambda + 6

Собственные значения

Условие. Для матрицы с tr(A) = 6 и det(A) = 8 найдите собственные значения, если матрица 2 x 2.

Решение. Характеристический многочлен: lambda^2 - 6lambda + 8. Раскладываем: (lambda - 2)(lambda - 4). Корни равны 2 и 4.

Ответ. 2 и 4

Дополнительные источники

MIT OpenCourseWare 18.06SC Linear Algebra, unit on eigenvalues and eigenvectors
Jim Hefferon, Linear Algebra, chapter Five: Similarity
OpenStax Precalculus 9.5 Matrices and Matrix Operations

Связанные формулы

Математика

След матрицы

$\operatorname{tr}A=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}$

След квадратной матрицы равен сумме элементов главной диагонали. Он сохраняется при замене базиса и связан с собственными значениями.

Математика

Определитель матрицы 2x2

$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$

Определитель матрицы 2x2 равен разности произведений диагоналей. Он показывает, во сколько раз линейное преобразование меняет ориентированную площадь.

Математика

Обратная матрица 2x2

$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$

Обратная матрица 2x2 существует только при ненулевом определителе. Она обращает действие исходной матрицы: A^{-1}A = I, то есть возвращает исходный вектор.