Подборки: По Пользовательской Задаче
Страницы с задачами и решениями
страницы с задачами и решениями
422 формулы
Таблица формул
Показаны 1-60 из 422. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Смешивание растворов по концентрации | $C_{mix} = \frac{\sum C_i V_i}{\sum V_i}$ | Растворы | Концентрация смеси равна суммарному количеству растворенного вещества, деленному на общий объем смеси. Для каждого раствора вклад равен C_i V_i. |
| Соотношение коэффициентов в уравнении реакции | $\frac{n_A}{a} = \frac{n_B}{b}$ | Стехиометрия | Коэффициенты уравненной реакции показывают молярное отношение веществ. Если известны моли одного участника, моли другого находят через отношение коэффициентов. |
| Лимитирующий реагент в химической реакции | $\xi_{max} = \min \left(\frac{n_i}{\nu_i}\right)$ | Стехиометрия | Лимитирующий реагент определяют по минимальному отношению количества вещества к коэффициенту. Именно он задает максимальный масштаб реакции. |
| Остаток реагента в избытке | $n_{left,i} = n_{0,i} - \nu_i \xi$ | Стехиометрия | Остаток избытка находят вычитанием из начального количества реагента той части, которая израсходовалась по коэффициенту реакции. |
| Периметр равнобедренного треугольника | $P=2a+b$ | Геометрия | Периметр равнобедренного треугольника равен удвоенной боковой стороне плюс основание. Формула использует равенство двух боковых сторон. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Нулевая степень ненулевого числа | $a^0=1,\quad a\ne0$ | Алгебра | Нулевая степень любого ненулевого числа равна единице. Условие a не равно нулю обязательно: выражение 0^0 в школьной алгебре не считают определенным. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Одночлен в стандартном виде | $c\,x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_k^{\alpha_k}$ | Алгебра | Стандартный вид одночлена записывает числовой коэффициент первым, а одинаковые буквенные множители объединяет в степени с натуральными показателями. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Коэффициент одночлена | $A=c\,x_1^{\alpha_1}\cdots x_k^{\alpha_k}\quad\Rightarrow\quad c\text{ — коэффициент}$ | Алгебра | Коэффициент одночлена — это числовой множитель в его стандартном виде. Он показывает, во сколько раз взята буквенная часть, включая знак выражения. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Угол между биссектрисами смежных углов | $\frac{\alpha}{2}+\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ$ | Геометрия | Биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны. Их угол равен 90 градусам, потому что смежные углы в сумме дают 180 градусов. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Линейная функция по коэффициентам k и b | $y=kx+b$ | Функции и графики | Линейная функция y=kx+b задает прямую: коэффициент k отвечает за наклон графика, а b показывает точку пересечения с осью Oy. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Точка пересечения двух прямых | $k_1x+b_1=k_2x+b_2,\quad x=\frac{b_2-b_1}{k_1-k_2}$ | Функции и графики | Точку пересечения двух прямых y=k1x+b1 и y=k2x+b2 находят приравниванием правых частей. Абсцисса равна (b2-b1)/(k1-k2), если k1 не равно k2. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Первый признак равенства треугольников | $AB=A_1B_1,\ AC=A_1C_1,\ \angle A=\angle A_1\Rightarrow \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$ | Геометрия | Первый признак равенства треугольников утверждает: если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого, треугольники равны. |
| Второй признак равенства треугольников | $AB=A_1B_1,\ \angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1\Rightarrow \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$ | Геометрия | Второй признак равенства треугольников использует сторону и два прилежащих к ней угла. Такой набор однозначно задает треугольник. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Третий признак равенства треугольников | $AB=A_1B_1,\ BC=B_1C_1,\ AC=A_1C_1\Rightarrow \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$ | Геометрия | Третий признак равенства треугольников утверждает: если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, треугольники равны. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Правило Лопиталя для неопределенностей 0/0 и infinity/infinity | $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ | Пределы, ряды | Правило Лопиталя заменяет предел отношения функций пределом отношения их производных, когда исходная дробь дает неопределенность 0/0 или infinity/infinity и выполнены условия дифференцируемости. |
| Критерий Коши сходимости числового ряда | $\sum_{n=1}^{\infty}a_n\text{ сходится}\Longleftrightarrow \forall\varepsilon>0\ \exists N:\left|\sum_{k=m}^{n}a_k\right|<\varepsilon\quad(n\ge m\ge N)$ | Пределы, ряды | Критерий Коши проверяет сходимость ряда через малость любых достаточно дальних хвостовых сумм. Он не требует заранее знать сумму ряда и выражает полноту числовой прямой. |
| Признак сравнения для несобственных интегралов | $0\le f(x)\le g(x),\quad \int_a^b g(x)\,dx<\infty\ \Rightarrow\ \int_a^b f(x)\,dx<\infty$ | Пределы, ряды | Признак сравнения переносит сходимость или расходимость несобственного интеграла с известной функции на сравниваемую неотрицательную функцию через поточечное неравенство. |
| Интегральный признак сходимости ряда | $\sum_{n=N}^{\infty} f(n)\text{ сходится}\Longleftrightarrow \int_N^{\infty} f(x)\,dx\text{ сходится}$ | Пределы, ряды | Интегральный признак связывает ряд с несобственным интегралом от положительной убывающей функции. Он позволяет заменить сумму площадью под графиком и оценить хвост. |
| Верхняя и нижняя суммы Дарбу | $U(f,P)=\sum_{i=1}^{n} M_i\Delta x_i,\quad L(f,P)=\sum_{i=1}^{n} m_i\Delta x_i$ | Пределы, ряды | Суммы Дарбу оценивают площадь под ограниченной функцией сверху и снизу. Их сближение служит строгим критерием римановой интегрируемости. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Теорема о среднем для определенного интеграла | $\int_a^b f(x)\,dx=f(c)(b-a),\quad c\in[a,b]$ | Пределы, ряды | Теорема о среднем утверждает, что интеграл непрерывной функции на отрезке равен значению функции в некоторой точке, умноженному на длину отрезка. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Равномерная непрерывность на отрезке | $\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ |x-y|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon\quad(x,y\in E)$ | Пределы, ряды | Равномерная непрерывность требует одного δ для всех точек множества E. На замкнутом отрезке всякая непрерывная функция равномерно непрерывна по теореме Гейне-Кантора. |
| Дивергенция в цилиндрических координатах | $\nabla\cdot\mathbf F=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rF_r)+\frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$ | Пределы, ряды | Формула дивергенции в цилиндрических координатах учитывает изменение радиального, углового и осевого компонентов поля, включая геометрический множитель r у радиальной части. |
| Средняя абсолютная ошибка MAE | $\mathrm{MAE}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|y_i-\hat{y}_i|$ | Прогнозирование | MAE усредняет модули отклонений факта от прогноза и показывает типичный промах в исходных единицах. Метрика удобна для понятного сравнения моделей на одном горизонте, но не усиливает крупные ошибки. |
| Средняя квадратичная ошибка MSE | $\mathrm{MSE}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2$ | Прогнозирование | MSE усредняет квадраты ошибок прогноза, поэтому крупные промахи влияют на итог сильнее мелких. Результат измеряется в квадрате исходных единиц и подходит для сравнения моделей на одной проверочной выборке. |
| Корень из среднеквадратичной ошибки RMSE | $\mathrm{RMSE}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2}$ | Прогнозирование | RMSE - корень из MSE: он сохраняет штраф за крупные ошибки, но возвращает результат в исходные единицы. Метрика показывает типичный размер промаха модели на фиксированном горизонте и наборе фактов. |
| Средняя абсолютная процентная ошибка MAPE | $\mathrm{MAPE}=\frac{100\%}{n}\sum_{i=1}^{n}\left|\frac{y_i-\hat{y}_i}{y_i}\right|$ | Прогнозирование | MAPE показывает среднюю абсолютную ошибку прогноза в процентах от фактических значений. Метрика удобна для рядов разного масштаба, но требует аккуратности при нулевых и очень малых фактах. |
| Взвешенная абсолютная процентная ошибка WAPE | $\mathrm{WAPE}=\frac{\sum_{i=1}^{n}|y_i-\hat{y}_i|}{\sum_{i=1}^{n}|y_i|}\cdot100\%$ | Прогнозирование | WAPE делит суммарную абсолютную ошибку на общий фактический объем. Метрика показывает долю промаха в процентах от всего спроса или оборота и сильнее отражает строки с большим весом. |
| Простое скользящее среднее | $\mathrm{SMA}_t=\frac{x_{t-k+1}+x_{t-k+2}+\ldots+x_t}{k}$ | Прогнозирование | SMA заменяет текущее значение средним по последним k наблюдениям. Это простая база для сглаживания шума и краткосрочного прогноза, но она запаздывает на трендах и резких разворотах. |
| Экспоненциальное сглаживание прогноза | $\hat{y}_{t+1}=\alpha y_t+(1-\alpha)\hat{y}_t$ | Прогнозирование | Экспоненциальное сглаживание обновляет прогноз как смесь последнего факта и прошлого сглаженного уровня. Коэффициент α задает, насколько быстро модель реагирует на свежие изменения ряда. |
| Линейная регрессия по методу наименьших квадратов | $\hat{\beta}_1=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x})^2},\quad \hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}$ | Линейная регрессия, коэффициенты | OLS подбирает коэффициенты линейной регрессии так, чтобы сумма квадратов остатков была минимальной. Формула нужна, чтобы оценить связь факторов с числовой целью и получить воспроизводимый линейный прогноз. |
| Коэффициент детерминации R-squared | $R^2=1-\frac{SS_{res}}{SS_{tot}}$ | Линейная регрессия, коэффициенты | R² показывает, какая доля разброса целевой переменной объяснена регрессионной моделью по сравнению с ее средним уровнем. Метрика полезна для одной выборки и спецификации, но сама по себе не доказывает причинность. |
| Стандартная ошибка регрессии | $s=\sqrt{\frac{SS_{res}}{n-p}}$ | Линейная регрессия, коэффициенты | Стандартная ошибка регрессии оценивает типичный разброс остатков вокруг линии модели в единицах целевой переменной. Ее используют рядом с R², чтобы видеть не только долю объясненной вариации, но и размер промаха. |
| t-статистика коэффициента регрессии | $t=\frac{\hat{\beta}_j-\beta_{j,0}}{SE(\hat{\beta}_j)}$ | Линейная регрессия, коэффициенты | t-статистика делит коэффициент регрессии на его стандартную ошибку и показывает, насколько оценка далека от нуля в масштабе неопределенности. Ее читают с учетом степеней свободы, p-value и спецификации модели. |
| Логистическая функция вероятности | $p=\frac{1}{1+e^{-z}},\quad z=\beta_0+\beta_1x_1+\ldots+\beta_kx_k}$ | Линейная регрессия, коэффициенты | Логистическая функция переводит линейный скор в вероятность от 0 до 1 по S-образной кривой. В аналитике бинарных событий она связывает факторы с шансом наступления класса и помогает выбрать порог решения. |
| Accuracy как доля правильных классификаций | $\mathrm{Accuracy}=\frac{TP+TN}{TP+TN+FP+FN}$ | Precision, recall | Accuracy - доля верных ответов среди всех объектов. Метрика быстро показывает общий уровень классификации, но хорошо читается только при сопоставимых классах и близкой цене ложных тревог и пропусков. |
| Precision для положительного класса | $\mathrm{Precision}=\frac{TP}{TP+FP}$ | Precision, recall | Precision показывает, какая часть объектов, помеченных моделью как положительные, действительно положительна. Метрика важна, когда ложные срабатывания дороги: модерация, лиды, диагностика, ручная проверка. |
| Recall для положительного класса | $\mathrm{Recall}=\frac{TP}{TP+FN}$ | Precision, recall | Recall показывает, какую долю настоящих положительных объектов модель нашла. Метрика важна, когда опаснее пропустить нужный случай, чем получить лишнее срабатывание: риск, дефекты, заявки. |
| F1-мера классификации для баланса precision и recall | $F_1=\frac{2\cdot Precision\cdot Recall}{Precision+Recall}$ | Precision, recall | F1 объединяет precision и recall через гармоническое среднее. Метрика полезна, когда нужно одним числом балансировать ложные срабатывания и пропуски, но true negative в расчет не входит. |
| Specificity классификатора | $\mathrm{Specificity}=\frac{TN}{TN+FP}$ | Precision, recall | Specificity показывает, какую долю настоящих отрицательных объектов модель оставила отрицательными. Метрика дополняет recall и важна там, где надо ограничить ложные тревоги при фиксированном положительном классе. |
| ROC AUC через пары объектов | $\mathrm{AUC}=\frac{N_{concordant}+0.5N_{tied}}{N_{positive}N_{negative}}$ | Precision, recall | ROC AUC оценивает ранжирование: насколько часто положительный объект получает скор выше отрицательного. Метрика не зависит от одного порога, но требует корректных скорингов и выбранного положительного класса. |
| Lift модели классификации | $\mathrm{Lift}=\frac{\text{response rate in selected group}}{\text{overall response rate}}$ | Precision, recall | Lift показывает, во сколько раз выбранный моделью сегмент богаче целевыми объектами, чем вся база. Метрика полезна для CRM, маркетинга и скоринга, где важен верхний процент списка, а не общий порог. |
| Матрица ошибок бинарной классификации | $N=TP+TN+FP+FN$ | Precision, recall | Матрица ошибок раскладывает бинарные решения на TP, TN, FP и FN. Это исходная таблица для accuracy, precision, recall, specificity и F1, поэтому сначала проверяют класс, порог и сумму ячеек. |
| Размер выборки для одной доли | $n=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}$ | Описательная статистика | Размер выборки для одной доли: формула n=\frac{z^2p(1-p)}{E^2} помогает величины n, z, p, E заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Размер выборки для MDE двух долей | $n=\frac{2(z_\alpha+z_\beta)^2p(1-p)}{\Delta^2}$ | A/B-тесты | Размер выборки для MDE двух долей: формула n=\frac{2(z_\alpha+z_\beta)^2p(1-p)}{\Delta^2} помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется понять, хватит ли трафика для обнаружения минимального эффекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| z-тест для сравнения двух долей | $z=\frac{p_1-p_2}{\sqrt{p(1-p)(1/n_1+1/n_2)}}$ | A/B-тесты | z-тест для сравнения двух долей: формула z=\frac{p_1-p_2}{\sqrt{p(1-p)(1/n_1+1/n_2)}} помогает величины z, p_1, p_2, p заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| t-тест для сравнения двух средних | $t=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}}$ | Описательная статистика | t-тест для сравнения двух средних: формула t=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}} помогает величины t, x_1, x_2, s_p заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| t-тест Уэлча для средних с разными дисперсиями | $t=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}}$ | Описательная статистика | t-тест Уэлча для средних с разными дисперсиями: формула t=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}} помогает величины t, x_1, x_2, s_1 заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Критерий хи-квадрат независимости | $\chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}$ | Описательная статистика | Критерий хи-квадрат независимости: формула \chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E} помогает величины chi, O, E заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Доверительный интервал для доли | $\hat p\pm z\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$ | Описательная статистика | Доверительный интервал для доли: формула \hat p\pm z\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} помогает величины p, z, n заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Доверительный интервал для разности долей | $(p_1-p_2)\pm z\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$ | A/B-тесты | Доверительный интервал для разности долей: формула (p_1-p_2)\pm z\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}} помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется оценить диапазон возможного uplift между группами. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Размер эффекта Cohen's d для двух средних | $d=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{s_p}$ | Описательная статистика | Размер эффекта Cohen's d для двух средних: формула d=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{s_p} помогает величины d, x_1, x_2, s_p заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Коэффициент V Крамера для таблицы сопряженности | $V=\sqrt{\frac{\chi^2}{n(k-1)}}$ | Описательная статистика | Коэффициент V Крамера для таблицы сопряженности: формула V=\sqrt{\frac{\chi^2}{n(k-1)}} помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется оценить силу связи в категориальной таблице. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Precision, recall и F1 для классификации | $F_1=\frac{2PR}{P+R}$ | Продуктовые метрики | Precision, recall и F1 для классификации: формула F_1=\frac{2PR}{P+R} помогает требуется требуется требуется требуется требуется важны и точность, и полнота. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| ROC AUC методом трапеций по точкам | $AUC=\sum\frac{TPR_i+TPR_{i-1}}{2}(FPR_i-FPR_{i-1})$ | Продуктовые метрики | ROC AUC методом трапеций по точкам: формула AUC=\sum\frac{TPR_i+TPR_{i-1}}{2}(FPR_i-FPR_{i-1}) помогает величины AUC, TPR, FPR заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Binary log loss для вероятностной классификации | $L=-\frac1n\sum(y\log p+(1-y)\log(1-p))$ | Продуктовые метрики | Binary log loss для вероятностной классификации: формула L=-\frac1n\sum(y\log p+(1-y)\log(1-p)) помогает величины L, n, y, p заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Brier score для вероятностного прогноза | $BS=\frac1n\sum(p_i-y_i)^2$ | Продуктовые метрики | Brier score для вероятностного прогноза: формула BS=\frac1n\sum(p_i-y_i)^2 помогает величины BS, p_i, y_i, n заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| sMAPE для ошибки прогноза | $sMAPE=\frac{100}{n}\sum\frac{|F_t-A_t|}{(|A_t|+|F_t|)/2}$ | Прогнозирование | sMAPE для ошибки прогноза: формула sMAPE=\frac{100}{n}\sum\frac{|F_t-A_t|}{(|A_t|+|F_t|)/2} помогает величины F_t, A_t, n заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| MASE для сравнения прогноза с наивной моделью | $MASE=\frac{MAE}{MAE_{naive}}$ | Прогнозирование | MASE для сравнения прогноза с наивной моделью: формула MASE=\frac{MAE}{MAE_{naive}} помогает величины MASE, MAE заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Сезонный наивный прогноз временного ряда | $\hat y_{t}=y_{t-m}$ | Прогнозирование | Сезонный наивный прогноз временного ряда: формула \hat y_{t}=y_{t-m} помогает величины y, t, m заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Автокорреляция временного ряда на лаге k | $r_k=\frac{\sum(y_t-\bar y)(y_{t-k}-\bar y)}{\sum(y_t-\bar y)^2}$ | Прогнозирование | Автокорреляция временного ряда на лаге k: формула r_k=\frac{\sum(y_t-\bar y)(y_{t-k}-\bar y)}{\sum(y_t-\bar y)^2} помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется проверить, повторяется ли ряд с задержкой k. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |