Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Характеристическое уравнение матрицы

Характеристическое уравнение det(A-lambda I)=0 находит те значения lambda, при которых у системы (A-lambda I)v=0 появляется ненулевое решение. Именно эти lambda являются собственными значениями матрицы.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебраСобственные значения и векторыХарактеристический многочленОпределителиЛинейные операторы

Формула

$$\det(A-\lambda I)=0$$
characteristic-equation-flow От Av=lambda v к det(A-lambda I)=0

Схема показывает переход от собственного вектора к однородной системе и условию вырожденности.

Собственное значение делает A-lambda I необратимой, поэтому появляется ненулевое ядро.

Обозначения

$A$
квадратная матрица, матрица n x n
$\lambda$
переменная, потенциальное собственное значение, число
$I$
единичная матрица того же размера, что A, матрица n x n
$\det(A-\lambda I)$
характеристический определитель, многочлен от lambda

Условия применения

  • Матрица A должна быть квадратной.
  • Нужно придерживаться одного соглашения о знаке: det(A-lambda I)=0 или det(lambda I-A)=0 дают те же корни.
  • Ненулевые собственные векторы затем находятся отдельно из системы (A-lambda I)v=0.

Ограничения

  • Для больших матриц явное раскрытие определителя может быть вычислительно тяжелым и численно неустойчивым.
  • Корни характеристического уравнения могут быть комплексными.
  • Само уравнение дает собственные значения, но не дает автоматически собственные векторы и диагонализуемость.

Подробное объяснение

Начинаем с определения собственного значения: Av=lambda v для некоторого ненулевого v. Переносим правую часть влево: Av-lambda Iv=0, то есть (A-lambda I)v=0. Это однородная система. Ненулевое решение у такой системы существует только тогда, когда матрица A-lambda I вырождена. Для квадратной матрицы вырожденность равносильна нулевому определителю. Поэтому получаем характеристическое уравнение.

Смысл уравнения не в том, что определитель сам по себе является собственным значением. Определитель проверяет, потеряла ли матрица A-lambda I обратимость. Когда она вырождена, ее ядро содержит ненулевые векторы. Эти векторы и становятся собственными для исходной матрицы A.

В матрицах 2 x 2 характеристическое уравнение часто раскрывается в компактную формулу через след и определитель. В общем случае det(A-lambda I) является многочленом степени n. Его корни, с учетом алгебраической кратности, образуют спектр матрицы над алгебраически замкнутым полем, например над комплексными числами.

На практике для больших матриц собственные значения часто ищут численными методами, а не раскрытием определителя. Но учебная формула det(A-lambda I)=0 остается концептуальным центром: она объясняет связь собственных значений с ядром, рангом, обратимостью и характеристическим многочленом.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте, что A квадратная.
  2. Составьте A-lambda I, вычитая lambda из каждого диагонального элемента.
  3. Вычислите определитель det(A-lambda I).
  4. Приравняйте его к нулю и найдите корни.
  5. Для каждого корня решите (A-lambda I)v=0, чтобы найти собственные векторы.

Историческая справка

Характеристическое уравнение выросло из задач о колебаниях, квадратичных формах, линейных подстановках и детерминантах. До современного языка матриц математики часто говорили о характеристических корнях уравнений, возникающих из систем линейных соотношений. Коши внес важный вклад в раннюю спектральную теорию матриц и использовал детерминантные методы в математической физике. В XIX веке развитие определителей, матричной алгебры и линейных замен подготовило современную запись det(A-lambda I)=0. В учебной линейной алгебре эта запись стала стандартом, потому что связывает геометрический вопрос о сохранении направления с алгебраическим вопросом об обратимости матрицы.

Историческая линия формулы

Характеристическое уравнение не стоит приписывать одному автору. Оно связано с историей детерминантов, характеристических корней и матричной алгебры; для текущего раздела уместны Коши, Кэли, Сильвестр и Фробениус как фигуры, чьи работы поддерживают эту линию.

Огюстен Луи Коши 1789-1857Артур Кэли 1821-1895Джеймс Джозеф Сильвестр 1814-1897Фердинанд Георг Фробениус 1849-1917

Пример

Пусть A=[[2,1],[1,2]]. Составляем A-lambda I=[[2-lambda,1],[1,2-lambda]]. Определитель равен (2-lambda)^2-1=lambda^2-4lambda+3. Характеристическое уравнение: lambda^2-4lambda+3=0. Раскладываем: (lambda-1)(lambda-3)=0. Значит собственные значения равны 1 и 3. Для lambda=3 решаем (A-3I)v=0: [[-1,1],[1,-1]]v=0, откуда x=y, например v=(1,1). Для lambda=1 решаем [[1,1],[1,1]]v=0, откуда x=-y, например v=(1,-1). Уравнение нашло масштабы, а системы после него нашли направления. Такой порядок действий снижает риск перепутать число lambda и собственный вектор v.

Частая ошибка

Частая ошибка - решить det(A-lambda I)=0 и считать, что корни уже являются собственными векторами. Корни - это числа lambda, а векторы находятся следующим шагом. Вторая ошибка - забыть единичную матрицу и вычитать lambda только из одного элемента вместо всей диагонали. Третья ошибка - менять соглашение det(A-lambda I) и det(lambda I-A) внутри одного решения: корни сохраняются, но знаки коэффициентов могут запутать проверку. Еще одна ошибка - применять характеристическое уравнение к прямоугольной матрице.

Практика

Задачи с решением

Составить характеристическое уравнение

Условие. Найдите характеристическое уравнение для A=[[4,0],[2,1]].

Решение. A-lambda I=[[4-lambda,0],[2,1-lambda]]. Определитель равен (4-lambda)(1-lambda).

Ответ. (4-lambda)(1-lambda)=0.

Найти собственные значения

Условие. Для A=[[0,1],[-2,3]] найдите собственные значения.

Решение. A-lambda I=[[-lambda,1],[-2,3-lambda]]. Определитель равен -lambda(3-lambda)+2=lambda^2-3lambda+2=(lambda-1)(lambda-2).

Ответ. lambda=1 и lambda=2.

Дополнительные источники

  • MIT OpenCourseWare 18.06SC, Eigenvalues and Eigenvectors
  • Jim Hefferon, Linear Algebra, characteristic polynomial
  • TUDelft Interactive Linear Algebra, characteristic polynomial

Связанные формулы

Математика

Собственное значение и собственный вектор

$Av=\lambda v,\quad v\ne0$

Собственный вектор матрицы A - это ненулевой вектор, который после умножения на A остается на той же прямой. Собственное значение lambda показывает, во сколько раз этот вектор растягивается, сжимается или меняет направление.

Математика

Характеристический многочлен общей матрицы

$p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)$

Характеристический многочлен квадратной матрицы A - это многочлен det(lambda I-A). Его корни являются собственными значениями A с учетом алгебраической кратности.

Математика

Собственное пространство матрицы

$E_\lambda=\ker(A-\lambda I)$

Собственное пространство E_lambda - это множество всех векторов, которые удовлетворяют Av=lambda v, вместе с нулевым вектором. Оно равно ядру матрицы A-lambda I.

Математика

Характеристический многочлен матрицы 2x2

$p(\lambda)=\lambda^2-\operatorname{tr}(A)\lambda+\det(A)$

Характеристический многочлен матрицы 2x2 выражается через след и определитель. Его корни являются собственными значениями матрицы.