Математика / Матрицы, определители

Характеристический многочлен общей матрицы

Характеристический многочлен квадратной матрицы A - это многочлен det(lambda I-A). Его корни являются собственными значениями A с учетом алгебраической кратности.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Формула

p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)

polynomial-roots Корни характеристического многочлена

Схема показывает det(lambda I-A), его разложение на множители и переход от множителей к собственным значениям.

Степень фактора задает алгебраическую кратность собственного значения.

Обозначения

$p_A(\lambda)$: характеристический многочлен матрицы A, многочлен степени n
$\lambda$: переменная характеристического многочлена, число
$I$: единичная матрица размера n x n, матрица
$A$: квадратная матрица, для которой строится многочлен, матрица n x n

Условия применения

Матрица A должна быть квадратной.
Соглашение p_A(lambda)=det(lambda I-A) дает старший коэффициент 1.
Корни многочлена рассматриваются в выбранном поле; над комплексными числами многочлен степени n имеет n корней с кратностями.

Ограничения

Характеристический многочлен не определяет матрицу полностью: разные матрицы могут иметь один и тот же многочлен.
Корни многочлена могут быть сложны для точного нахождения при степени выше 4.
Знание многочлена не гарантирует достаточного числа собственных векторов для диагонализации.

Подробное объяснение

Характеристический многочлен превращает задачу о собственных значениях в задачу о корнях многочлена. Если p_A(lambda)=0, то det(lambda I-A)=0, значит lambda I-A вырождена. Это равносильно существованию ненулевого v, для которого (lambda I-A)v=0, то есть Av=lambda v. Поэтому корни p_A являются собственными значениями.

Соглашение det(lambda I-A) удобно тем, что старший коэффициент равен 1. Для матрицы n x n получается многочлен степени n. Его коэффициенты связаны с инвариантами матрицы: коэффициент при lambda^{n-1} равен -tr(A), а свободный член равен (-1)^n det(A). Это объясняет, почему сумма собственных значений равна следу, а произведение равно определителю, если учитывать алгебраические кратности.

Многочлен является инвариантом подобия: если B=S^{-1}AS, то p_B(lambda)=p_A(lambda). Значит характеристический многочлен описывает не конкретную запись матрицы в одном базисе, а свойство самого линейного оператора. Это особенно важно при смене базисов и подготовке к диагонализации.

Однако характеристический многочлен не отвечает на все вопросы. Он показывает собственные значения и их алгебраические кратности, но не говорит напрямую, сколько независимых собственных векторов есть у каждого значения. Для этого нужно находить собственные пространства и сравнивать геометрическую кратность с алгебраической.

Как пользоваться формулой

Проверьте, что A квадратная.
Составьте lambda I-A.
Вычислите определитель как многочлен от lambda.
Разложите многочлен на множители, если нужно найти собственные значения и кратности.
Для каждого корня отдельно найдите собственное пространство.

Историческая справка

Характеристический многочлен связан с историей детерминантов и характеристических корней. В задачах механики и колебаний особые значения параметра появлялись как корни определителей, при которых система теряла единственность решения. Коши и другие математики XIX века развивали детерминантные методы и раннюю спектральную теорию матриц. Кэли и Гамильтон связали матрицы с их характеристическими многочленами в теореме Кэли-Гамильтона, а последующая алгебраическая традиция сделала p_A(lambda) центральным объектом линейной алгебры. Современное определение через det(lambda I-A) удобно тем, что объединяет собственные значения, след, определитель, кратности и подобие матриц.

Историческая линия формулы

Характеристический многочлен является результатом развития детерминантов, линейных подстановок и матричной алгебры. В авторской атрибуции уместно упоминать Коши, Кэли, Гамильтона и Фробениуса как важные точки этой линии, не утверждая единоличного авторства современной учебной формулы.

Огюстен Луи Коши 1789-1857 Артур Кэли 1821-1895 Уильям Роуэн Гамильтон 1805-1865 Фердинанд Георг Фробениус 1849-1917

Пример

Для треугольной матрицы A=[[2,1,0],[0,3,5],[0,0,2]] характеристический многочлен особенно легко найти. Матрица lambda I-A равна [[lambda-2,-1,0],[0,lambda-3,-5],[0,0,lambda-2]]. Она верхнетреугольная, поэтому ее определитель равен произведению диагональных элементов: p_A(lambda)=(lambda-2)(lambda-3)(lambda-2)=(lambda-2)^2(lambda-3). Собственные значения: 2 с алгебраической кратностью 2 и 3 с алгебраической кратностью 1. При этом по одному многочлену еще нельзя сказать, есть ли для lambda=2 два независимых собственных вектора; это проверяют через собственное пространство ker(A-2I).

Частая ошибка

Частая ошибка - забывать, что характеристический многочлен строится только для квадратных матриц. Вторая ошибка - считать показатель степени фактора (lambda-lambda0) числом собственных векторов; это алгебраическая, а не геометрическая кратность. Третья ошибка - думать, что одинаковый характеристический многочлен означает одинаковую матрицу. Еще одна ошибка - смешивать соглашения det(lambda I-A) и det(A-lambda I) при сравнении коэффициентов.

Практика

Задачи с решением

Многочлен диагональной матрицы

Условие. Найдите p_A(lambda) для A=diag(1,4,4).

Решение. lambda I-A=diag(lambda-1,lambda-4,lambda-4). Определитель равен произведению диагональных элементов.

Ответ. p_A(lambda)=(lambda-1)(lambda-4)^2.

Прочитать кратности

Условие. p_A(lambda)=(lambda+2)^3(lambda-5). Какие собственные значения и алгебраические кратности?

Решение. Корни: lambda=-2 и lambda=5. Показатель фактора при -2 равен 3, при 5 равен 1.

Ответ. -2 с алгебраической кратностью 3; 5 с кратностью 1.

Дополнительные источники

MIT OpenCourseWare 18.06SC, Eigenvalues and Eigenvectors
TUDelft Interactive Linear Algebra, Characteristic polynomial
Jim Hefferon, Linear Algebra, characteristic polynomial

Связанные формулы

Математика

Характеристическое уравнение матрицы

$\det(A-\lambda I)=0$

Характеристическое уравнение det(A-lambda I)=0 находит те значения lambda, при которых у системы (A-lambda I)v=0 появляется ненулевое решение. Именно эти lambda являются собственными значениями матрицы.

Математика

Алгебраическая кратность собственного значения

$p_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^k q(\lambda),\quad q(\lambda_0)\ne0$

Алгебраическая кратность собственного значения lambda0 - это степень, с которой множитель lambda-lambda0 входит в характеристический многочлен.

Математика

Сумма собственных значений равна следу

$\lambda_1+\cdots+\lambda_n=\operatorname{tr}(A)$

Сумма собственных значений квадратной матрицы, взятых с алгебраическими кратностями, равна следу матрицы. След не меняется при смене базиса.

Математика

Произведение собственных значений равно определителю

$\lambda_1\cdots\lambda_n=\det(A)$

Произведение собственных значений квадратной матрицы, взятых с алгебраическими кратностями, равно определителю матрицы. Нулевое собственное значение означает нулевой определитель.