Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Сумма собственных значений равна следу

Сумма собственных значений квадратной матрицы, взятых с алгебраическими кратностями, равна следу матрицы. След не меняется при смене базиса.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебраСобственные значения и векторыСлед матрицыХарактеристический многочленСпектр матрицы

Формула

$$\lambda_1+\cdots+\lambda_n=\operatorname{tr}(A)$$
trace-eigenvalue-sum След как сумма корней

Схема связывает диагональную сумму tr(A), коэффициент характеристического многочлена и сумму lambda_i.

Собственные значения входят в сумму с алгебраическими кратностями.

Обозначения

$\lambda_i$
собственные значения матрицы A с учетом алгебраических кратностей, числа
$\operatorname{tr}(A)$
след матрицы A, сумма диагональных элементов, число
$n$
размер квадратной матрицы, число
$A$
квадратная матрица, матрица n x n

Условия применения

  • Матрица A должна быть квадратной.
  • Собственные значения считаются с алгебраическими кратностями.
  • Если матрица вещественная и имеет комплексные собственные значения, равенство удобно рассматривать над комплексными числами.

Ограничения

  • Равенство суммы не позволяет восстановить все собственные значения однозначно.
  • Одинаковый след не означает одинаковый спектр.
  • Если собственные значения найдены численно, малые погрешности могут слегка нарушать проверочное равенство.

Подробное объяснение

Связь суммы собственных значений со следом видна из характеристического многочлена. При соглашении p_A(lambda)=det(lambda I-A) коэффициент при lambda^{n-1} равен -tr(A). С другой стороны, если корни многочлена равны lambda1,...,lambdan с учетом кратностей, то произведение (lambda-lambda1)...(lambda-lambdan) имеет коэффициент при lambda^{n-1}, равный -(lambda1+...+lambdan). Сравнение коэффициентов дает нужное равенство.

Если матрица диагонализуема, равенство можно понять еще проще. В базисе из собственных векторов матрица подобна диагональной матрице с собственными значениями на диагонали. След диагональной матрицы равен их сумме. Так как след не меняется при подобии, след исходной матрицы такой же.

Формула работает и для недиагонализуемых матриц. Даже если собственных векторов не хватает, характеристический многочлен все равно имеет корни с алгебраическими кратностями, и коэффициент при lambda^{n-1} по-прежнему связан со следом. Поэтому это надежная проверка, а не свойство только хороших случаев.

На практике равенство особенно полезно как контроль. После нахождения собственных значений стоит сложить их с кратностями и сравнить с tr(A). Если не совпало, возможно, ошибочно раскрыт определитель, потерян повторный корень или перепутано соглашение о знаке характеристического многочлена.

Как пользоваться формулой

  1. Вычислите след A как сумму диагональных элементов.
  2. Найдите собственные значения или корни характеристического многочлена.
  3. Повторите каждое собственное значение столько раз, какова его алгебраическая кратность.
  4. Сложите значения и сравните с tr(A).
  5. При несовпадении проверьте характеристический многочлен и кратности.

Историческая справка

След матрицы и характеристические корни развивались внутри матричной алгебры и теории линейных преобразований. Когда стало ясно, что след сохраняется при подобии матриц, он получил инвариантный смысл: это не просто сумма видимых диагональных элементов, а характеристика оператора. Связь следа с суммой собственных значений следует из коэффициентов характеристического многочлена и стала стандартной частью спектрального языка. В исторической перспективе здесь встречаются несколько линий: детерминанты и характеристические уравнения у Коши, матричная алгебра у Кэли и Сильвестра, дальнейшая теория линейных подстановок и инвариантов. Поэтому след постепенно превратился из простой операции в один из базовых спектральных инвариантов.

Историческая линия формулы

Формула суммы собственных значений через след не является личной формулой одного автора. Она является следствием характеристического многочлена и инвариантности следа при подобии; исторически связана с развитием детерминантов, матриц и спектральной теории.

Огюстен Луи Коши 1789-1857Артур Кэли 1821-1895Джеймс Джозеф Сильвестр 1814-1897Фердинанд Георг Фробениус 1849-1917

Пример

Пусть A=[[4,1,0],[0,2,3],[0,0,-1]]. Матрица верхнетреугольная, поэтому ее собственные значения равны диагональным элементам: 4, 2 и -1. Их сумма равна 4+2-1=5. След матрицы тоже равен сумме диагональных элементов: tr(A)=4+2+(-1)=5. В более сложной матрице собственные значения не обязательно читаются с диагонали, но их сумма с кратностями все равно равна следу. Например, если характеристический многочлен матрицы 3 x 3 имеет корни 1, 1 и 6, то след должен быть 8. Если при вычислении след получился другим, значит где-то ошибка в многочлене или корнях.

Частая ошибка

Частая ошибка - складывать только разные собственные значения без кратностей. Если lambda=2 имеет алгебраическую кратность 3, оно входит в сумму три раза. Вторая ошибка - считать, что след равен сумме собственных значений только для диагональных матриц. На самом деле след сохраняется при подобии, а собственные значения задаются характеристическим многочленом. Третья ошибка - делать обратный вывод: по одному следу нельзя найти весь спектр.

Практика

Задачи с решением

Проверить сумму

Условие. Матрица 3 x 3 имеет собственные значения 2, 2 и -5. Чему равен след?

Решение. Складываем значения с кратностями: 2+2-5=-1.

Ответ. tr(A)=-1.

Найти недостающее значение

Условие. У матрицы 3 x 3 след равен 10, два собственных значения равны 3 и 4. Найдите третье с учетом кратности.

Решение. Пусть третье значение lambda. Тогда 3+4+lambda=10, значит lambda=3.

Ответ. Третье собственное значение равно 3.

Дополнительные источники

  • MIT OpenCourseWare 18.06SC, Eigenvectors and Trace
  • Jim Hefferon, Linear Algebra, Similarity chapter
  • Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, eigenvalues

Связанные формулы

Математика

След матрицы

$\operatorname{tr}A=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}$

След квадратной матрицы равен сумме элементов главной диагонали. Он сохраняется при замене базиса и связан с собственными значениями.

Математика

Характеристический многочлен общей матрицы

$p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)$

Характеристический многочлен квадратной матрицы A - это многочлен det(lambda I-A). Его корни являются собственными значениями A с учетом алгебраической кратности.

Математика

Спектр матрицы

$\sigma(A)=\{\lambda:\det(A-\lambda I)=0\}$

Спектр матрицы - это множество ее собственных значений. Для конечной квадратной матрицы он состоит из корней характеристического уравнения.