Линейная алгебра
Спектр матрицы
Множество собственных значений матрицы или линейного оператора.
4 формулы
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Спектр матрицы | $\sigma(A)=\{\lambda:\det(A-\lambda I)=0\}$ | Матрицы, определители | Спектр матрицы - это множество ее собственных значений. Для конечной квадратной матрицы он состоит из корней характеристического уравнения. |
| Сумма собственных значений равна следу | $\lambda_1+\cdots+\lambda_n=\operatorname{tr}(A)$ | Матрицы, определители | Сумма собственных значений квадратной матрицы, взятых с алгебраическими кратностями, равна следу матрицы. След не меняется при смене базиса. |
| Произведение собственных значений равно определителю | $\lambda_1\cdots\lambda_n=\det(A)$ | Матрицы, определители | Произведение собственных значений квадратной матрицы, взятых с алгебраическими кратностями, равно определителю матрицы. Нулевое собственное значение означает нулевой определитель. |
| Функция от диагонализируемой матрицы | $f(A)=P f(D) P^{-1},\quad f(D)=\operatorname{diag}(f(\lambda_1),\ldots,f(\lambda_n))$ | Матрицы, определители | Если A диагонализируема, функцию от матрицы можно вычислить через функцию от ее собственных значений. Для диагональной D функция применяется к каждому диагональному элементу. |