Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Функция от диагонализируемой матрицы

Если A диагонализируема, функцию от матрицы можно вычислить через функцию от ее собственных значений. Для диагональной D функция применяется к каждому диагональному элементу.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебраСпектр матрицы

Формула

$$f(A)=P f(D) P^{-1},\quad f(D)=\operatorname{diag}(f(\lambda_1),\ldots,f(\lambda_n))$$
matrix-function-spectrum Функция действует на спектр

Схема показывает переход от lambda_i к f(lambda_i) внутри диагональной матрицы.

В собственном базисе функция от матрицы становится функцией от чисел на диагонали.

Обозначения

$f(A)$
функция от матрицы A, матрица
$f(D)$
диагональная матрица значений функции на собственных значениях, диагональная матрица
$f(\lambda_i)$
значение функции на i-м собственном значении, число
$P$
матрица собственных векторов, матрица перехода

Условия применения

  • Матрица A должна быть диагонализируемой: A=PDP^{-1}.
  • Функция f должна быть определена на всех собственных значениях A.
  • Если используются комплексные собственные значения, вычисления ведутся в соответствующем поле или с последующим возвращением к вещественной форме, когда это возможно.

Ограничения

  • Для недиагонализируемых матриц формула требует жордановой формы или другого определения функции от матрицы.
  • Если f имеет особенности в собственных значениях, например деление на ноль, f(A) может не быть определена.
  • При численных расчетах плохо обусловленная P может сделать результат чувствительным к ошибкам.

Подробное объяснение

Если функция f задается степенным рядом или многочленом, идея следует из степеней матрицы. Для многочлена f(t)=c0+c1t+...+ck t^k имеем f(A)=c0I+c1A+...+ckA^k. При A=PDP^{-1} каждая степень A^j равна PD^jP^{-1}. Общие множители P и P^{-1} выносятся, и остается P(c0I+c1D+...+ckD^k)P^{-1}=Pf(D)P^{-1}.

Для диагональной D функция считается по диагонали. Это естественно: D действует на каждую координату независимо, значит и любая функция от D действует независимо. Поэтому f(D)=diag(f(lambda1),...,f(lambdan)).

Матричные функции особенно важны в дифференциальных уравнениях. Решение x'(t)=Ax(t) выражается через exp(tA). Если A диагонализируема, exp(tA)=P diag(e^{t lambda_i}) P^{-1}. Так система распадается на независимые экспоненциальные режимы.

Нужно помнить, что матричная функция зависит от структуры оператора, а не от поэлементного применения. Для диагонализируемых матриц спектральная формула дает аккуратный и понятный способ вычисления. Для недиагонализируемых матриц приходится учитывать жордановы блоки и производные функции.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте диагонализируемость A и найдите A=PDP^{-1}.
  2. Убедитесь, что f определена на всех собственных значениях.
  3. Вычислите f(lambda_i) для диагональных элементов D.
  4. Соберите f(D)=diag(f(lambda_i)).
  5. Вернитесь в исходный базис по формуле f(A)=Pf(D)P^{-1}.

Историческая справка

Функции от матриц развивались вместе с операторным взглядом на линейную алгебру и дифференциальные уравнения. Степени матрицы были первым шагом, затем естественно появились многочлены, экспонента и другие функции от операторов. Диагонализация дала простой спектральный способ вычислять такие выражения: если оператор распадается на собственные направления, функция от оператора распадается на функции от собственных значений. В дальнейшем эта идея стала частью функционального исчисления и спектральной теории, но в базовом курсе ее достаточно понимать через диагональные матрицы и собственный базис.

В XIX веке диагонализация выросла из задач о приведении линейных преобразований и квадратичных форм к более простому виду. Смысл был не в красивой записи ради записи, а в том, чтобы заменить связанную систему координат независимыми направлениями. Позже тот же язык стал базовым для дифференциальных уравнений, механики, статистики и численных методов. Поэтому страница "Функция от диагонализируемой матрицы" находится на границе между абстрактной алгеброй и вычислительной практикой: она объясняет, когда сложный оператор можно читать как набор независимых масштабирований.

Историческая линия формулы

Формула f(A)=Pf(D)P^{-1} является следствием диагонализации и алгебры матриц. Исторически она связана с развитием операторного подхода, матричных степеней, дифференциальных систем и спектральной теории, а не с отдельным персональным открытием.

Уильям Роуэн Гамильтон 1805-1865Артур Кэли 1821-1895Фердинанд Георг Фробениус 1849-1917

Пример

Пусть A=P diag(1,4) P^{-1}. Тогда квадратный корень из A, если выбрать обычные положительные корни, равен sqrt(A)=P diag(sqrt(1),sqrt(4)) P^{-1}=P diag(1,2) P^{-1}. Аналогично exp(A)=P diag(e^1,e^4) P^{-1}. Смысл тот же, что у степеней: в собственном базисе матрица действует независимо по координатам, поэтому функция применяется к каждому собственному масштабу отдельно. Если бы одно собственное значение было отрицательным, вещественный квадратный корень требовал бы дополнительной проверки и мог не существовать в вещественных матрицах в таком простом виде.

Частая ошибка

Частая ошибка - применять функцию к каждому элементу матрицы A в исходном базисе. Для матричной функции обычно нельзя просто взять f от всех элементов таблицы. Вторая ошибка - забыть множители P и P^{-1}: f(D) живет в собственном базисе, а f(A) в исходном. Третья ошибка - использовать формулу для недиагонализируемой матрицы без жордановой формы. Еще одна ошибка - не проверять область определения f на собственных значениях.

Практика

Задачи с решением

Экспонента диагональной матрицы

Условие. Если D=diag(2,-1), чему равно exp(D)?

Решение. Для диагональной матрицы экспонента считается по диагонали: exp(D)=diag(e^2,e^{-1}).

Ответ. exp(D)=diag(e^2,e^{-1}).

Функция через диагонализацию

Условие. A=P diag(9,16) P^{-1}. Запишите sqrt(A) для положительной ветви.

Решение. Берем корни собственных значений: sqrt(9)=3, sqrt(16)=4.

Ответ. sqrt(A)=P diag(3,4) P^{-1}.

Дополнительные источники

  • MIT OpenCourseWare 18.06SC, Diagonalization applications
  • Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, polynomials applied to operators
  • Jim Hefferon, Linear Algebra, functions of diagonalizable matrices

Связанные формулы

Математика

Степень диагонализируемой матрицы

$A^k=PD^kP^{-1},\quad D^k=\operatorname{diag}(\lambda_1^k,\ldots,\lambda_n^k)$

Если A=PDP^{-1}, то степень A^k вычисляется как PD^kP^{-1}. Диагональную матрицу D возводят в степень по диагональным элементам.

Математика

Диагонализация матрицы

$A=PDP^{-1}$

Диагонализация представляет квадратную матрицу A в виде A=PDP^{-1}, где D диагональна, а столбцы P являются собственными векторами A. Это переводит действие оператора в собственный базис.

Математика

Спектр матрицы

$\sigma(A)=\{\lambda:\det(A-\lambda I)=0\}$

Спектр матрицы - это множество ее собственных значений. Для конечной квадратной матрицы он состоит из корней характеристического уравнения.

Математика

Линейный оператор как квадратная матрица

$T:V\to V,\quad [T]_B=A\in M_n(F),\quad [T(v)]_B=A[v]_B$

Линейный оператор - это линейное отображение пространства в себя. В выбранном базисе конечномерного пространства он записывается квадратной матрицей.