Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Произведение собственных значений равно определителю

Произведение собственных значений квадратной матрицы, взятых с алгебраическими кратностями, равно определителю матрицы. Нулевое собственное значение означает нулевой определитель.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебраСобственные значения и векторыОпределителиСпектр матрицыХарактеристический многочлен

Формула

$$\lambda_1\cdots\lambda_n=\det(A)$$
determinant-eigenvalue-product Определитель как произведение спектральных масштабов

Схема показывает диагональную матрицу с lambda_i на диагонали и объемный масштаб det(A).

Если один спектральный масштаб равен нулю, весь объем схлопывается.

Обозначения

$\lambda_i$
собственные значения матрицы A с учетом алгебраических кратностей, числа
$\det(A)$
определитель матрицы A, число
$A$
квадратная матрица, матрица n x n
$n$
размер матрицы, число

Условия применения

  • Матрица A должна быть квадратной.
  • Собственные значения учитываются с алгебраическими кратностями.
  • Для вещественных матриц с комплексными корнями равенство рассматривают над комплексными числами; произведение все равно дает вещественный определитель.

Ограничения

  • Произведение не определяет собственные значения однозначно.
  • Одинаковый определитель не означает одинаковый спектр или одинаковую геометрию преобразования.
  • Если одно собственное значение равно нулю, произведение равно нулю, но это не говорит о кратности нуля без дополнительного анализа.

Подробное объяснение

Произведение собственных значений связано со свободным членом характеристического многочлена. При p_A(lambda)=det(lambda I-A) свободный член равен det(-A)=(-1)^n det(A). С другой стороны, если p_A(lambda)=(lambda-lambda1)...(lambda-lambdan), то свободный член равен (-1)^n lambda1...lambdan. Сравнение свободных членов дает det(A)=lambda1...lambdan.

Если матрица диагонализуема, равенство видно геометрически. В базисе собственных векторов матрица становится диагональной, а определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов, то есть собственных значений. Так как определитель сохраняется при подобии, исходная матрица имеет тот же определитель.

Формула работает и без диагонализуемости, потому что она следует из характеристического многочлена. Это важно для жордановых блоков и повторных корней: даже если собственных векторов не хватает, собственные значения с алгебраическими кратностями все равно дают правильный определитель.

Практически равенство помогает быстро проверять решения. Если найдены собственные значения матрицы, их произведение должно совпасть с det(A). Если определитель равен нулю, ноль входит в спектр. Если определитель не равен нулю, нулевого собственного значения нет, и матрица обратима.

Как пользоваться формулой

  1. Вычислите det(A) напрямую или по известным свойствам матрицы.
  2. Найдите собственные значения с алгебраическими кратностями.
  3. Перемножьте все значения, повторяя кратные корни.
  4. Сравните произведение с det(A).
  5. Используйте наличие нуля среди собственных значений как критерий необратимости.

Историческая справка

Определитель исторически появился раньше современной теории собственных значений и долго был инструментом решения систем линейных уравнений и проверки вырожденности. Когда характеристический многочлен связал определитель det(lambda I-A) с собственными значениями, определитель получил спектральную интерпретацию: он равен произведению всех собственных масштабов оператора. В матричной алгебре XIX века эта связь стала частью языка инвариантов. Кэли, Сильвестр, Коши и другие математики работали в среде, где детерминанты, характеристические уравнения и линейные подстановки постепенно сложились в современную линейную алгебру. Такая история помогает понять, почему проверка det(A)=0 одновременно является проверкой нулевого собственного значения.

Историческая линия формулы

Формула произведения собственных значений через определитель является следствием характеристического многочлена, а не отдельным открытием одного автора. Историческая связь идет через развитие определителей, характеристических корней и матричной алгебры.

Огюстен Луи Коши 1789-1857Артур Кэли 1821-1895Джеймс Джозеф Сильвестр 1814-1897

Пример

Пусть A=[[2,1,0],[0,3,4],[0,0,-5]]. Матрица верхнетреугольная, ее собственные значения равны диагональным элементам: 2, 3 и -5. Их произведение равно 2*3*(-5)=-30. Определитель треугольной матрицы также равен произведению диагональных элементов: det(A)=-30. В общем случае матрица не обязана быть треугольной, но произведение всех собственных значений с кратностями все равно равно определителю. Если среди собственных значений есть 0, произведение равно 0, а значит det(A)=0 и матрица необратима. Это связывает спектр с проверкой обратимости.

Частая ошибка

Частая ошибка - перемножать только разные собственные значения без кратностей. Если lambda=2 имеет кратность 3, множитель 2 входит три раза. Вторая ошибка - считать, что det(A)=0 означает, что все собственные значения равны нулю; достаточно одного нулевого значения. Третья ошибка - путать сумму и произведение: след связан с суммой, определитель - с произведением. Еще одна ошибка - делать вывод о диагонализуемости только из совпадения произведения с определителем.

Практика

Задачи с решением

Найти определитель по собственным значениям

Условие. Собственные значения матрицы 4 x 4 равны 2, -1, 3, 3. Найдите det(A).

Решение. Перемножаем значения с кратностями: 2*(-1)*3*3=-18.

Ответ. det(A)=-18.

Проверить обратимость

Условие. У матрицы есть собственные значения 5, 0 и -2. Обратима ли матрица?

Решение. Произведение собственных значений равно 0, значит det(A)=0.

Ответ. Матрица необратима.

Дополнительные источники

  • MIT OpenCourseWare 18.06SC, Eigenvalues and determinants
  • Jim Hefferon, Linear Algebra, characteristic roots
  • TUDelft Interactive Linear Algebra, characteristic polynomial

Связанные формулы

Математика

Определитель матрицы 2x2

$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$

Определитель матрицы 2x2 равен разности произведений диагоналей. Он показывает, во сколько раз линейное преобразование меняет ориентированную площадь.

Математика

Определитель матрицы 3x3 по правилу Саррюса

$\det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$

Правило Саррюса дает быстрый способ вычислить определитель матрицы 3x3 как сумму трех произведений по нисходящим диагоналям минус сумму трех произведений по восходящим диагоналям.

Математика

Характеристический многочлен общей матрицы

$p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)$

Характеристический многочлен квадратной матрицы A - это многочлен det(lambda I-A). Его корни являются собственными значениями A с учетом алгебраической кратности.

Математика

Спектр матрицы

$\sigma(A)=\{\lambda:\det(A-\lambda I)=0\}$

Спектр матрицы - это множество ее собственных значений. Для конечной квадратной матрицы он состоит из корней характеристического уравнения.