Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Определитель матрицы 3x3 по правилу Саррюса

Правило Саррюса дает быстрый способ вычислить определитель матрицы 3x3 как сумму трех произведений по нисходящим диагоналям минус сумму трех произведений по восходящим диагоналям.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебраОпределителиМатрицыКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$\det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$$
Схема Шесть диагональных произведений

Три нисходящие диагонали дают положительную сумму, три восходящие - отрицательную сумму.

Правило Саррюса является приемом только для матриц 3 x 3.

Обозначения

$a_{ij}$
элемент матрицы A в i-й строке и j-м столбце, зависит от задачи
$\det A$
определитель матрицы 3 x 3, куб единицы масштаба преобразования
$i,j$
номера строки и столбца, шт.

Условия применения

  • Матрица должна быть квадратной размера 3 x 3.
  • Правило применяется только к определителю третьего порядка и не переносится напрямую на 4 x 4.
  • Элементы матрицы должны позволять умножение, сложение и вычитание.

Ограничения

  • Правило Саррюса удобно для ручного счета 3 x 3, но для больших матриц оно не работает как универсальный метод.
  • При большом числе отрицательных элементов легко ошибиться со знаками, поэтому полезна проверка раскрытием по строке или вычислением через приведение.
  • Нулевой определитель сообщает о линейной зависимости, но для понимания структуры зависимости обычно нужен ранг или приведение матрицы.

Подробное объяснение

Правило Саррюса является удобной мнемоникой для полного разложения определителя 3 x 3. В определителе третьего порядка есть шесть произведений, соответствующих всем перестановкам трех столбцов. Три перестановки имеют положительный знак, три - отрицательный. Запись через диагонали помогает быстро увидеть эти шесть произведений, если рядом с матрицей мысленно повторить первые два столбца.

Положительная часть собирает произведения по диагоналям, идущим сверху слева вниз вправо. Отрицательная часть собирает произведения по диагоналям, идущим сверху справа вниз влево. Разность этих сумм дает ориентированный объем. Если столбцы матрицы рассматривать как три вектора в пространстве, модуль определителя равен объему параллелепипеда на этих векторах.

Нулевой определитель означает, что объем вырождается: три вектора лежат в одной плоскости или еще более зависимы. Тогда матрица не задает обратимое преобразование пространства, а система с такой матрицей коэффициентов может не иметь единственного решения.

Хотя правило Саррюса популярно в учебных задачах, в серьезных вычислениях чаще используют приведение к треугольному виду, LU-разложение или другие алгоритмы. Они меньше зависят от ручной памяти и лучше масштабируются на большие матрицы.

Как пользоваться формулой

  1. Запишите матрицу 3 x 3 и мысленно повторите справа первые два столбца.
  2. Сложите три произведения по диагоналям сверху слева вниз вправо.
  3. Сложите три произведения по диагоналям сверху справа вниз влево.
  4. Вычтите вторую сумму из первой.
  5. Проверьте результат альтернативным способом, если определитель используется в важном расчете.

Историческая справка

Правило Саррюса названо по имени французского математика Пьера Фредерика Саррюса, который жил в XIX веке. Само понятие определителя старше этого правила: оно развивалось из способов решать системы линейных уравнений. Саррюс дал удобную схему для третьего порядка, которая хорошо подходит для ручного обучения и быстрых вычислений. При этом теория определителей развивалась значительно шире: Лейбниц, Крамер, Лаплас, Коши и другие математики исследовали общие свойства определителей, разложения и связь с линейной зависимостью. В современной линейной алгебре правило Саррюса обычно показывают как практический способ вычисления 3 x 3, а затем переходят к более общим методам, которые работают для любого порядка.

Историческая линия формулы

Правило диагоналей для 3 x 3 связано с Пьером Фредериком Саррюсом. Но сама теория определителей не принадлежит одному автору: она формировалась в работах многих математиков, занимавшихся системами линейных уравнений, перестановками и линейными преобразованиями.

Пример

Пусть A = [[1, 2, 3], [0, 4, 5], [1, 0, 6]]. По правилу Саррюса положительные произведения: 1·4·6 = 24, 2·5·1 = 10, 3·0·0 = 0. Их сумма равна 34. Отрицательные произведения: 3·4·1 = 12, 1·5·0 = 0, 2·0·6 = 0. Их сумма равна 12. Определитель равен 34 - 12 = 22. Так как результат не равен нулю, три столбца матрицы линейно независимы, а линейное преобразование пространства обратимо. Геометрически модуль 22 можно понимать как объем параллелепипеда, построенного на трех столбцах матрицы, если эти столбцы рассматриваются как векторы в R3.

Частая ошибка

Самая опасная ошибка - использовать правило Саррюса для матриц 4 x 4 или выше. Для таких матриц повторение столбцов и диагонали уже не дают правильную формулу. Вторая ошибка - потерять один из шести членов или перепутать знак восходящих диагоналей. Третья ошибка - механически копировать первые два столбца, но затем читать диагонали в неправильном направлении. Еще одна ошибка - считать, что положительный определитель означает положительные элементы матрицы: знак определителя связан с ориентацией преобразования, а не с тем, какие числа стоят в таблице.

Практика

Задачи с решением

Определитель 3 x 3

Условие. Найдите det A для A = [[2, 0, 1], [3, 4, 0], [1, -2, 5]].

Решение. Положительные произведения: 2·4·5 = 40, 0·0·1 = 0, 1·3·(-2) = -6; сумма 34. Отрицательные: 1·4·1 = 4, 2·0·(-2) = 0, 0·3·5 = 0; сумма 4. Определитель 34 - 4 = 30.

Ответ. 30

Проверка линейной зависимости

Условие. Матрица имеет столбцы (1, 2, 3), (2, 4, 6), (0, 1, 1). Нужно ли считать определитель полностью, чтобы понять, что он равен нулю?

Решение. Нет. Второй столбец равен удвоенному первому, значит столбцы линейно зависимы. Определитель квадратной матрицы с линейно зависимыми столбцами равен нулю.

Ответ. Определитель равен 0

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • MIT OpenCourseWare 18.06SC Linear Algebra, unit on determinants
  • OpenStax Precalculus 9.8 Solving Systems with Cramer's Rule
  • Jim Hefferon, Linear Algebra, chapter Four: Determinants

Связанные формулы

Математика

Определитель матрицы 2x2

$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$

Определитель матрицы 2x2 равен разности произведений диагоналей. Он показывает, во сколько раз линейное преобразование меняет ориентированную площадь.

Математика

Ранг матрицы через миноры

$\operatorname{rank}A=\max\{r:\text{существует ненулевой минор порядка }r\}$

Ранг матрицы равен наибольшему порядку ненулевого минора. Он показывает, сколько строк или столбцов матрицы действительно независимы.

Математика

Решение системы 2x2 по правилу Крамера

$x=\frac{\Delta_x}{\Delta},\quad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$

Правило Крамера выражает решение системы двух линейных уравнений через определители. Метод работает, когда главный определитель системы не равен нулю.