Линейная алгебра
Линейные операторы
Линейные отображения пространства в себя, квадратные матрицы, степени операторов и подготовка к собственным значениям.
5 формул
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Критерий линейности отображения | $T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)$ | Матрицы, определители | Критерий линейности проверяет, сохраняет ли отображение сложение векторов и умножение на скаляр. Если равенство выполняется для любых u, v и скаляров alpha, beta, отображение линейно. |
| Линейный оператор как квадратная матрица | $T:V\to V,\quad [T]_B=A\in M_n(F),\quad [T(v)]_B=A[v]_B$ | Матрицы, определители | Линейный оператор - это линейное отображение пространства в себя. В выбранном базисе конечномерного пространства он записывается квадратной матрицей. |
| Собственное значение и собственный вектор | $Av=\lambda v,\quad v\ne0$ | Матрицы, определители | Собственный вектор матрицы A - это ненулевой вектор, который после умножения на A остается на той же прямой. Собственное значение lambda показывает, во сколько раз этот вектор растягивается, сжимается или меняет направление. |
| Характеристическое уравнение матрицы | $\det(A-\lambda I)=0$ | Матрицы, определители | Характеристическое уравнение det(A-lambda I)=0 находит те значения lambda, при которых у системы (A-lambda I)v=0 появляется ненулевое решение. Именно эти lambda являются собственными значениями матрицы. |
| Спектр матрицы | $\sigma(A)=\{\lambda:\det(A-\lambda I)=0\}$ | Матрицы, определители | Спектр матрицы - это множество ее собственных значений. Для конечной квадратной матрицы он состоит из корней характеристического уравнения. |