Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Критерий линейности отображения

Критерий линейности проверяет, сохраняет ли отображение сложение векторов и умножение на скаляр. Если равенство выполняется для любых u, v и скаляров alpha, beta, отображение линейно.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебраЛинейные отображенияМатрица отображенияЛинейные операторы

Формула

$$T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)$$
linear-map-flow Линейность как сохранение линейных комбинаций

Схема показывает два пути: сначала смешать векторы и применить T или сначала применить T к каждому вектору и затем смешать результаты.

Если оба пути дают один результат для любых коэффициентов, отображение линейно.

Обозначения

$T$
отображение из одного векторного пространства в другое, правило преобразования
u, v
произвольные векторы области определения, векторы
$\alpha, \beta$
произвольные скаляры того же поля, числа
$T(u)$
образ вектора u при отображении T, вектор выходного пространства

Условия применения

  • Область определения и область значений должны быть векторными пространствами над одним и тем же полем.
  • Равенство должно выполняться для любых векторов u, v и любых скаляров alpha, beta.
  • Если проверка ведется через базис, нужно убедиться, что правило задано линейным продолжением с базисных векторов на все пространство.

Ограничения

  • Аффинное отображение T(x)=Ax+b при b != 0 не линейно, даже если содержит матрицу A.
  • Формулы с x^2, xy, |x|, sin x или делением на координату обычно не проходят критерий линейности.
  • Проверка на нескольких числовых примерах не доказывает линейность для всех векторов.

Подробное объяснение

Линейное отображение - это правило, которое уважает линейные комбинации. Если сначала смешать векторы с коэффициентами alpha и beta, а потом применить T, результат должен совпасть с тем, что получится, если сначала применить T к каждому вектору, а затем смешать результаты с теми же коэффициентами. Поэтому формула T(alpha u+beta v)=alpha T(u)+beta T(v) является компактной проверкой сразу двух свойств: аддитивности и однородности.

Из критерия сразу следует T(0)=0. Достаточно положить alpha=0 и beta=0 или использовать T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0). Это простая, но очень полезная проверка: любое правило с ненулевым свободным членом не может быть линейным. Например, сдвиг плоскости на фиксированный вектор сохраняет прямые и расстояния, но в линейной алгебре это аффинное, а не линейное отображение.

Когда отображение линейно, его поведение полностью определяется образами базисных векторов. Если известны T(e1), ..., T(en), то для любого v=x1e1+...+xnen имеем T(v)=x1T(e1)+...+xnT(en). Именно поэтому дальше можно строить матрицу отображения: ее столбцы - это образы базисных векторов. Критерий линейности стоит перед матричной записью как проверка права пользоваться всеми следующими формулами.

В прикладных задачах этот критерий помогает не смешивать разные типы моделей. Умножение всех координат на число, поворот вокруг начала координат, проекция на подпространство и дифференцирование многочленов линейны. Перенос на фиксированный вектор, нормировка до единичной длины и возведение координаты в квадрат не линейны, даже если выглядят просто.

Как пользоваться формулой

  1. Запишите правило T для произвольного вектора, а не только для одного примера.
  2. Проверьте T(0)=0 как быстрый предварительный фильтр.
  3. Подставьте alpha u+beta v и раскройте выражение.
  4. Сравните результат с alpha T(u)+beta T(v).
  5. Если равенство выполняется для любых u, v, alpha, beta, можно переходить к матричной записи.

Историческая справка

Понятие линейного отображения оформилось не за один шаг. Его истоки лежат в линейных подстановках, системах уравнений, аналитической геометрии и развитии абстрактных векторных пространств. В XIX веке математики активно работали с линейными заменами переменных и таблицами коэффициентов, но современная формулировка через пространства V и W стала естественной позднее, когда появилась аксиоматическая линейная алгебра. Работы Грассмана помогли говорить об абстрактных направлениях и линейных комбинациях, а Пеано внес вклад в строгую аксиоматическую подачу линейных пространств. Поэтому критерий линейности лучше связывать не с одной фамилией, а с постепенным переходом от вычислительных замен к структурному языку отображений между пространствами.

Историческая линия формулы

У критерия линейности нет одного персонального автора в учебном смысле. Для полезной атрибуции стоит указывать историческую линию: Грассман - общий язык пространств и линейных комбинаций, Пеано - аксиоматическая строгость, матричная традиция Кэли и Сильвестра - запись линейных правил таблицами коэффициентов.

Герман Грассман 1809-1877Артур Кэли 1821-1895Джеймс Джозеф Сильвестр 1814-1897

Пример

Проверим отображение T:R^2 -> R^2, заданное T(x,y)=(2x-y, x+3y). Возьмем u=(x1,y1), v=(x2,y2) и скаляры alpha, beta. Тогда alpha u+beta v=(alpha x1+beta x2, alpha y1+beta y2). Подставляем в T и получаем (2(alpha x1+beta x2)-(alpha y1+beta y2), (alpha x1+beta x2)+3(alpha y1+beta y2)). Перегруппировка дает alpha(2x1-y1, x1+3y1)+beta(2x2-y2, x2+3y2), то есть alpha T(u)+beta T(v). Значит отображение линейно. Для сравнения T(x,y)=(2x-y+1,x+3y) не линейно: T(0,0)=(1,0), а у любого линейного отображения нулевой вектор обязан переходить в нулевой.

Частая ошибка

Самая частая ошибка - считать отображение линейным только потому, что в формуле есть матрица или коэффициенты при координатах. Постоянный сдвиг сразу нарушает T(0)=0. Вторая ошибка - проверять только свойство сложения и забывать умножение на скаляр; оба свойства нужны одновременно, либо их объединенная форма с alpha и beta. Третья ошибка - подставить один удачный пример и решить, что доказательство закончено. Для линейности требуется общий расчет с произвольными векторами.

Практика

Задачи с решением

Проверить линейность правила

Условие. Линейно ли T(x,y,z)=(x+2y, z-y)?

Решение. Каждая выходная координата является линейной комбинацией x, y, z без свободного члена и нелинейных произведений. Для произвольной линейной комбинации alpha u+beta v результат раскладывается по коэффициентам.

Ответ. Да, отображение линейно.

Найти нарушение линейности

Условие. Линейно ли T(x,y)=(x-y, xy)?

Решение. Проверим однородность: T(2,2)=(0,4), а 2T(1,1)=2(0,1)=(0,2). Результаты не совпадают.

Ответ. Нет, отображение не линейно из-за произведения xy.

Дополнительные источники

  • MIT OpenCourseWare 18.06SC, linear transformations
  • Jim Hefferon, Linear Algebra, homomorphisms
  • Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, linear maps

Связанные формулы

Математика

Ядро линейного отображения

$\ker T=\{v\in V\mid T(v)=0\}$

Ядро линейного отображения - это множество всех векторов, которые переходят в нулевой вектор. По ядру сразу видно, теряет ли отображение информацию и может ли оно быть инъективным.

Математика

Образ линейного отображения

$\operatorname{Im}T=\{T(v)\mid v\in V\}$

Образ линейного отображения - это множество всех векторов, которые реально могут получиться на выходе. Для матрицы это столбцовое пространство, натянутое на ее столбцы.

Математика

Базис векторного пространства

$B=(e_1,\ldots,e_n),\quad V=\operatorname{span}B,\quad e_1,\ldots,e_n\ \text{линейно независимы}$

Базис векторного пространства - это набор векторов, который одновременно порождает все пространство и не содержит лишних зависимых направлений. Через базис любой вектор записывается единственным способом.