Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Матрица базиса и стандартные координаты

Матрица базиса переводит координатный столбец в выбранном базисе в стандартные координаты. Ее столбцы - это сами базисные векторы, записанные в стандартной системе.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебраБазисКоординаты в базисеСмена базисаМатрицы

Формула

$$v=P_B[v]_B,\quad P_B=[e_1\ \cdots\ e_n]$$
matrix-as-basis Матрица базиса собирает линейную комбинацию столбцов

Показать столбцы P_B как базисные стрелки и координаты как веса этих стрелок.

Умножение P_B[v]_B - это не абстрактное правило, а сборка вектора из базисных направлений.

Обозначения

$P_B$
матрица базиса B, составленная из базисных векторов как столбцов, матрица
$[v]_B$
координатный столбец вектора v в базисе B, столбец
$v$
тот же вектор в стандартных координатах, вектор
$e_i$
i-й базисный вектор, вектор

Условия применения

  • Базисные векторы e_i должны быть записаны в стандартных координатах.
  • P_B должна быть квадратной и обратимой, если B - базис всего R^n.
  • Координатный столбец [v]_B должен иметь столько строк, сколько векторов в базисе.

Ограничения

  • Формула v=P_B[v]_B переводит из координат B в стандартные координаты; обратный переход требует решения P_B x=v или умножения на P_B^{-1}.
  • Если B - базис подпространства, P_B может быть прямоугольной, и обратной квадратной матрицы не будет.
  • Неверный порядок столбцов в P_B меняет смысл координатного столбца.

Подробное объяснение

Координатный столбец [v]_B хранит коэффициенты разложения v=x1e1+...+xnen. Если поставить базисные векторы столбцами матрицы P_B, обычное матричное умножение ровно собирает эту линейную комбинацию. Первый столбец умножается на x1, второй на x2, и так далее; сумма полученных столбцов дает вектор v в стандартных координатах.

Эта формула объясняет, почему матрица базиса должна быть обратимой для базиса всего R^n. Если P_B обратима, каждый стандартный вектор v имеет единственный координатный столбец [v]_B=P_B^{-1}v. Если P_B не обратима, столбцы зависимы или не порождают все пространство, и координаты либо неоднозначны, либо существуют не для всех векторов.

Матрица базиса является первым шагом к матрицам перехода между двумя базисами. Чтобы перейти из B в C, можно сначала превратить [v]_B в стандартный вектор v=P_B[v]_B, а затем найти координаты этого же v в базисе C. В формуле это дает [v]_C=P_C^{-1}P_B[v]_B.

В прикладных задачах P_B можно воспринимать как словарь между внутренними координатами модели и обычными координатами. Например, базис может быть направлен вдоль осей симметрии, главных компонент или собственных векторов. Тогда вычисления ведут в удобной системе, а P_B возвращает результат в привычные координаты.

Как пользоваться формулой

  1. Запишите базисные векторы в стандартных координатах.
  2. Поставьте их столбцами матрицы P_B в том же порядке, что и в базисе.
  3. Умножьте P_B на координатный столбец [v]_B.
  4. Полученный столбец является стандартной записью вектора v.
  5. Для обратного перехода решите систему P_B x=v.

Историческая справка

Матрица базиса объединяет координатную геометрию и матричный язык. Декартова традиция дала идею описывать положение числами, а развитие матриц в XIX веке позволило компактно записывать сразу все базисные направления и операции с ними. Когда линейные преобразования стали записывать матрицами, стало естественно рассматривать и базис как матрицу, переводящую координаты из одного языка в другой. В учебной линейной алгебре эта формула является переходным звеном между темами базиса, обратной матрицы и смены координат. Она также подготавливает формулу перехода P_C^{-1}P_B: сначала координаты собирают в обычный вектор, затем тот же вектор разбирают в другом базисе.

Историческая линия формулы

Формула v=P_B[v]_B не имеет персонального автора. Ее происхождение связано с координатной геометрией, матричной алгеброй и современным определением координат в базисе. Для исторического контекста полезны Декарт, Сильвестр и Грассман, но сама запись является стандартным языком конечномерной линейной алгебры.

Артур Кэли 1821-1895Джеймс Джозеф Сильвестр 1814-1897Герман Грассман 1809-1877

Пример

Пусть B=((1,1),(1,-1)), а координаты вектора в этом базисе равны [v]_B=(3,1)^T. Матрица базиса P_B имеет столбцы e1 и e2: P_B=[[1,1],[1,-1]]. Тогда v=P_B[v]_B=[[1,1],[1,-1]](3,1)^T=(4,2)^T. То есть координатная запись (3,1)^T означает 3 первого базисного вектора плюс 1 второго базисного вектора. Если требуется обратная задача, например найти координаты стандартного вектора (4,2), нужно решить P_B x=(4,2), и результатом снова будет x=(3,1)^T. Так проверяется направление формулы: P_B собирает вектор из координат, а не разбирает его на координаты.

Частая ошибка

Самая частая ошибка - перепутать направление перехода. Матрица P_B со столбцами базиса переводит из координат в базисе B в стандартные координаты, а не наоборот. Вторая ошибка - записать базисные векторы строками: тогда умножение дает другой смысл и ломает последующую матрицу перехода. Третья ошибка - забыть, что P_B зависит от порядка базиса. Если поменять e1 и e2 местами, та же пара чисел координат будет задавать другой вектор.

Практика

Задачи с решением

Перевести координаты в стандартный вид

Условие. B=((2,0),(1,1)), [v]_B=(3,4)^T. Найдите v.

Решение. P_B=[[2,1],[0,1]]. Умножаем: v=P_B(3,4)^T=(2*3+1*4, 0*3+1*4)=(10,4).

Ответ. v=(10,4)

Найти матрицу базиса

Условие. B=((1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)). Запишите P_B.

Решение. Ставим векторы столбцами: первая колонка (1,0,1), вторая (0,1,1), третья (1,1,0).

Ответ. P_B=[[1,0,1],[0,1,1],[1,1,0]]

Дополнительные источники

  • MIT OpenCourseWare 18.06SC, basis matrices and coordinates
  • Jim Hefferon, Linear Algebra, change of basis
  • Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, matrix of a linear map

Связанные формулы

Математика

Координаты вектора в базисе

$v=x_1e_1+\cdots+x_ne_n,\quad [v]_B=(x_1,\ldots,x_n)^T$

Координаты вектора в базисе - это коэффициенты единственного разложения вектора по базисным векторам. Сам вектор не меняется, меняется только числовая запись относительно выбранного базиса.

Математика

Переход координат между базисами

$[v]_C=P_C^{-1}P_B[v]_B$

Переход координат между базисами переводит координатный столбец одного и того же вектора из базиса B в базис C. Сам вектор не меняется, меняется только его числовое описание.

Математика

Обратная матрица 2x2

$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$

Обратная матрица 2x2 существует только при ненулевом определителе. Она обращает действие исходной матрицы: A^{-1}A = I, то есть возвращает исходный вектор.