Линейная алгебра
Линейная независимость
Проверка независимости векторов, лишние направления, базисы и лемма о замене.
3 формулы
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Базис векторного пространства | $B=(e_1,\ldots,e_n),\quad V=\operatorname{span}B,\quad e_1,\ldots,e_n\ \text{линейно независимы}$ | Матрицы, определители | Базис векторного пространства - это набор векторов, который одновременно порождает все пространство и не содержит лишних зависимых направлений. Через базис любой вектор записывается единственным способом. |
| Критерий базиса в Rn через определитель | $A=[v_1\ \cdots\ v_n],\quad v_1,\ldots,v_n\text{ - базис }\mathbb R^n\Longleftrightarrow \det A\ne0$ | Матрицы, определители | В Rn набор из n векторов является базисом тогда и только тогда, когда определитель матрицы из этих векторов как столбцов не равен нулю. |
| Лемма Штейница о замене | $L\text{ независим},\ G\text{ порождает }V\quad\Rightarrow\quad |L|\le |G|$ | Матрицы, определители | Лемма Штейница о замене формализует идею, что независимых направлений не может быть больше, чем в порождающем наборе. Из нее следуют равенство числа векторов в любых базисах и корректность понятия размерности. |